Entwicklung einer Hypermedia Datenbasis

für das

Hypertextsystem HYTEX

zur

Vor- und Nachbereitung

von

Analysis – Unterricht

Schriftliche Hausarbeit

vorgelegt im Rahmen der Ersten Staatsprüfung

für das Lehramt für die Sekundarstufen I und II in Mathematik von Ruth Dietzel Carl-Sonnenschein-Weg 14 40764 Langenfeld

und Hauke Friedrich Auf der Töterlöh 41 33100 Paderborn

Paderborn im Juni 1996

Gutachter: Prof. Dr. Hans-Dieter Rinkens

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 4

1 Hypertext für Lehrerinnen und Lehrer 6

1.1 Was ist ein Hypertext? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Vernetzte Inhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Die Visionen von Vannevar Bush . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Hypertext in der Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Merkmale von Hypertexten . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Vorteile für Lehrerinnen und Lehrer . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Hypertextsysteme für den Unterricht . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Unterrichtsvor- und -nachbereitung . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Multimediale Wissensvermittlung . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.4 Vermittlung vernetzten Wissens . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Unsere Datenbasis in HYTEX 20

2.1 Das Programm HYTEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 L^{A}TEX - die Basis von HYTEX . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1.1 Die Entstehungsgeschichte von L^{A}TEX . . . . . . . 20 2.1.1.2 Merkmale von L^{A}TEX . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1.3 Bilder in L^{A}TEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2 Aufbau eines HYTEX-Dokumentes . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Gestalt und Funktionalität von HYTEX . . . . . . . . . . 25

2.1.3.1 Zur Gestalt von HYTEX . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.3.2 Die HYTEX-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.4 Eine Mängelliste für HYTEX . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.4.1 HYTEX und die Soft- und Hardwareperipherie . 35 2.1.4.2 Zur Benutzerfreundlichkeit . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.4.3 Die Dokumentation von HYTEX . . . . . . . . . 41 2.1.4.4 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Die Datenbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.1 Die Erstellung der Netzstruktur . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1.1 Auswahl der Inhalte . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1.2 Vom Sequentiellen zum Vernetzten . . . . . . . . 43 2.2.1.3 Inhaltliche Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.1.4 Sinnvolle Links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.2 Die Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.2.1 Die Menuestruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.2.2 Der ’Rote Faden‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.2.3 Die L^{A}TEX-Stuktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.3 Die Gestaltung der HYTEX-Seiten . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.3.1 Die Kopfzeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.3.2 Die Standard-Knöpfe . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.3.3 Die Randsymbole L, S und ! . . . . . . . . . . . . 50 2.2.3.4 Einrückungen, Rahmen . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.4 Die Gestalt der PASCAL-Programme . . . . . . . . . . . . 51 2.2.5 Die Datenorganisation auf der Festplatte . . . . . . . . . . 52

3 Das Thema ” Folgen“ in HYTEX 53

3.1 Die Inhalte der Datenbasis ”Folgen“ . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.1 Folgen als Inhalt des Analysisunterrichts . . . . . . . . . . 53 3.1.1.1 Argumente für die Folgen im Analysisunterricht . 53 3.1.1.2 Argumente für und gegen grenzwertfreie Analysis 56

3.1.2 Auswahl und Begründung der Inhalte . . . . . . . . . . . . 60 3.1.2.1 Abschnitt 1: Einstieg . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.2.2 Abschnitt 2: Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.2.3 Abschnitt 3: Konvergenzkriterium . . . . . . . . 66 3.1.2.4 Abschnitt 4: Partialsummen . . . . . . . . . . . . 69 3.1.2.5 Abschnitt 5: Übungen . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Die Präsentation des Themas ”Folgen“ in HYTEX . . . . . . . . . 73 3.2.1 Die Netzstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2.2 Exemplarische Betrachtung von zwei Knoten . . . . . . . . 75 3.2.3 Funktionalität und Aufbau der PASCAL-Programme … 80

4 ”Funktionen“ in HYTEX 83

4.1 Funktionen als Thema des Mathematikunterrichts . . . . . . . . . 83 4.1.1 Geschichte des Funktionsbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.1.2 Geschichte des Schulstoffs ”Funktionen“ . . . . . . . . . . 86 4.1.3 Funktionen in der Sekundarstufe I . . . . . . . . . . . . . . 88 4.1.4 Funktionen in der Sekundarstufe II . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Präsentation des Themas ”Funktionen“ in HYTEX . . . . . . . . 91

4.2.1 Die Inhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.1.1 Die zugrundegelegten Schulbücher . . . . . . . . 92 4.2.1.2 Der rote Faden in der Datenbasis über Funktionen 93

4.2.2 Die Netzstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.2.1 Die lineare Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2.2.2 Die Baumstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 INHALTSVERZEICHNIS 3

4.2.2.3 Weitere Links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2.3 Betrachtung ausgewählter Knoten . . . . . . . . . . . . . . 107

4.2.3.1 Ein Menüknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2.3.2 Ein Inhaltsknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2.3.3 Ein Übungsknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.4 Die PASCAL - Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Einige Worte zum Schluß 114 Abbildungsverzeichnis 116 Literaturverzeichnis 117

Einleitung

Ruth Dietzel

Multimedia — Das Wort des Jahres 1995

Computerunterstützte Darstellung von Inhalten in vernetzter Form durch multimediale Hypertexte findet immer weiterreichende Anwendungen. Ein Lexikon auf CD-ROM ist vielleicht die allgemein bekannteste. Auch im Bereich von Lehren und Lernen werden Hypertexte verwendet. So gibt es bereits Programme, die Inhalte in Hypertextform für Schülerinnen und Schüler präsentieren und die im Unterricht neben Büchern und dem Fernsehen als weiteres Medium eingesetzt werden können. Solche Programme unterscheiden sich von anderen Medien durch die Interaktivität mit den Anwendern und Anwenderinnen und durch die Integration verschiedener Präsentationsformen, wie Text, Sprache, Musik und Töne, Bilder, Graphiken, Animationen und Videos.

Vor diesem Hintergrund entstand die Idee, einen Hypertext speziell für Lehrerinnen und Lehrer zu entwickeln, der sie in ihrer Arbeit unterstützt. Da es in den Schulen noch nicht Standard ist, daß in jedem Klassenzimmer ein Computer zur Verfügung steht, geht es uns insbesondere um die Arbeit der Lehrpersonen zu Hause, von der wir vermuten, daß sie sich größtenteils auf Schulbücher, Arbeitsblätter und andere gedruckt vorliegende Daten stützt und bei der der Computer zur Hauptsache für die Textverarbeitung eingesetzt wird.

Aus eigenem fachlichen Interesse heraus erstellten wir einen Hypertext zur Vor- und Nachbereitung von Analysisunterricht. Um den zeitlichen Rahmen der Arbeit nicht zu sprengen, beschränkten wir uns auf den Vorkurs in Analysis und wählten die Themen ” Folgen“^{1} und ” Funktionen“^{2} aus. Zusätzlich enthält der

1erstellt von Hauke Friedrich 2erstellt von Ruth Dietzel

Hypertext eine Anleitung^{1}.

Die vorliegende Arbeit gliedert sich in fünf Kapitel. Das erste Kapitel^{3} behandelt die Frage, was ein Hypertext ist und warum wir glauben, daß ein solcher Text für Lehrerinnen und Lehrer nützlich sein kann. Für unseren Hypertext stellte uns die AG von Prof. Dr. Norbert Köckler an der Universität - Gesamthochschule Paderborn ihr Hypertextsystem HYTEX zur Verfügung, dessen Funktionalität im zweiten Kapitel^{2} beschrieben wird. Der von uns erstellte Hypertext wird daraufhin im dritten^{2} und vierten^{3} Kapitel vorgestellt. Dabei geht es im dritten Kapitel zunächst um den Hypertext zum Thema ” Folgen“, während das vierte Kapitel unseren Hypertext über Funktionen behandelt. Es wird dort jeweils die Auswahl der Inhalte begründet und das Aussehen des Textes beschrieben. Das fünfte Kapitel^{3} bildet mit einer Zusammenfassung und einer kurzen Reflexion den Schluß der Arbeit.

Wir bedanken uns bei Herrn Prof. Dr. Norbert Köckler für das System HYTEX und bei Herrn Dipl. Math. Nicolai von Schroeders für die unermüdliche Hilfe beim Umgang mit selbigem.

1erstellt von Hauke Friedrich 2geschr. von Hauke Friedrich 3geschr. von Ruth Dietzel

Kapitel 1

Ein Hypertext für Lehrerinnen und Lehrer

Ruth Dietzel

Den Hauptteil unserer Examensarbeit bildet eine Hypermedia Datenbasis, die mit Hilfe des Programms HYTEX zu einem Hypertext wird. Das folgende Kapitel behandelt die Fragen, was man unter einem solchen Text versteht und warum er für Lehrerinnen und Lehrer bei der Unterrichtsvor- und -nachbereitung nützlich sein kann.

1.1 Was ist ein Hypertext?

1.1.1 Vernetzte Inhalte

Die wesentliche Eigenschaft eines Hypertextes wird leicht deutlich, wenn man ihn mit einem herkömmlichen Text vergleicht. In einem Buch oder bei einem Zeitungsartikel beispielsweise sind die Inhalte hintereinander angeordnet, und normalerweise beginnt man mit dem Lesen am Anfang und geht dann von Seite zu Seite bis zum Ende des Artikels. Genau diese Sequentialität ist bei einem Hypertext nicht mehr zwingend vorgegeben. Vielmehr besteht die ” ...Grundidee von Hypertext [...] darin, durch die Verknüpfung von Informationseinheiten (Knoten) über Verweise (Links) beliebige Informationsstrukturen, insbesondere nichtlineare, darzustellen.“ ([Inform. Spektr. 1992], S. 128).

Die Struktur eines Hypertextes könnte wie in Abbildung 1.1 aussehen. Dort sind die Knoten durch rechteckige Kästchen dargestellt, während die Verbindungslinien die zwischen den Knoten bestehenden Links repräsentieren.

{��� \atop ���}

Abbildung 1.1: Netzstruktur eines Hypertextes

Es ist bei einem Hypertext nicht vorgegeben, in welcher Reihenfolge die Knoten betrachtet werden, sondern der Benutzer oder die Benutzerin entscheidet beim Lesen eines Knotens, mit welchem er oder sie fortfahren will. Am ehesten vergleichbar ist ein solcher Text mit einem Lexikon, das ebenfalls nicht von vorne nach hinten durchgelesen wird, sondern durch die vielen Querverweise über eine hypertextähnliche Struktur verfügt. Jedoch ist es dort sehr mühevoll, immer wieder zu den gesuchten Seiten zu blättern. Auf dem Papier lassen sich Inhalte nicht einfach verschieben, und so hat man auch bei einem Lexikon - trotz der Querverweise - die Daten letztlich sequentiell angeordnet in der Hand. Neue Möglichkeiten erhält man durch das Hypertextkonzept, wenn man technische Hilfsmittel zur Verfügung hat, die den Wechsel von einer Informationseinheit zu einer gewählten anderen unterstützen. Heutzutage gibt es dazu spezielle Computerprogramme, wie das Hypertextsystem HYTEX.

Will man einen Hypertext erstellen, so muß man zunächst eine Datenbasis schreiben, eine Datei, die nicht nur die gesamten Inhalte, sondern auch Daten über die Inhaltsstruktur enthält. Diese Datei wird in ein Hypertextsystem geladen. Erst dann kann die Knotenwahl der Benutzenden in dem Netz von Informationseinheiten vom Computer ausgeführt werden. Dabei werden die einzelnen Knoten auf dem Bildschirm dargestellt, wobei es je nach Größe sein kann, daß sich ein Knoten auch über mehrere Bildschirmseiten erstreckt. Ist ein Knoten oder ein Teil eines Knotens gerade auf dem Bildschirm, so werden die Anfangspunkte der Verbindungen (Links), die von diesem Knoten zu anderen Knoten bestehen, durch spezielle Felder dargestellt. Diese kann man mit der Maus anklicken, wodurch sofort der Knoten auf dem Bildschirm erscheint, der am anderen Ende der Verbindung steht. Die für einen Mausklick sensiblen Bereiche können auf unterschiedliche Weise markiert sein. Es kann sich um farblich hervorgehobene Wörter im Text oder auch um Icons handeln, die mit Hilfe von Bildern Auskunft über die Informationen geben, die man bei dem zugehörigen Knoten erwarten kann. In dem von uns benutzten System werden die Links durch einen Rahmen um Wörter im Text markiert.

1.1.2 Die Visionen von Vannevar Bush

Die Idee von Hypertext geht auf den Amerikaner Vannevar Bush (1890 – 1974) zurück. Als angesehener wissenschaftlicher Berater Präsident Roosevelts im Zweiten Weltkrieg und Director of the Office of Scientific Research and Development koordinierte er die Arbeit vieler Wissenschaftler an der Weiterentwicklung der Kriegsführung. Bush bemerkte die explosionsartige Vergrößerung des Wissens der Menschheit und suchte deshalb nach einer Möglichkeit, dieses Wissen umfassend speichern und schnell abrufen zu können. Das Ergebnis seiner Überlegungen veröffentlichte er 1945 nach Ende des Krieges in seinem Artikel ”As We May Think“ der in der Zeitschrift ” The Atlantic Monthly“ erschien. Dort stellte er sein System ”Memex“ vor. Darunter verstand er ”...a device in which an individual stores all his books, records, and communications, and which is mechanized so that it may be consulted with exceeding speed and flexibility. It is an enlarged intimate supplement to his memory.“ ([Bush 1945], S. 106 - 107). Darum wurde der Name des Systems aus den Anfangsbuchstaben von ”memory extender“ gebildet.

Bush stellte sich vor, daß jeder seinen eigenen Hypertext nach Belieben aufbauen könnte. Es sollte also einfach sein, selber Knoten zu erstellen und diese in das Netz einzufügen. Die Knoten sollten darüber hinaus mit eigenen Kommentaren versehbar sein. Außerdem sollte man zusätzliche Links zwischen beliebigen Informationseinheiten einfach definieren können. Das entstehende Netz könnte man – nach Bushs Idee – durch bereits existierende Hypertexte erweitern.

Neben der Möglichkeit, das Netz auf einfache Art und Weise auszubauen, spielte für Bush die Unterstützung der Suche nach Informationen eine wichtige Rolle. Zu diesem Thema bemerkte er, daß der Mensch bei der Suche nach Informationen in seinem Kopf nicht in einem alphabetisch oder numerisch geordneten Index nachsieht, so wie es Lexika verlangen. Er sagte: ”The human mind does not work that way. It operates by association. With one item in its grasp, it snaps instantly to the next that is suggested by the association of thoughts...“ ([Bush 1945], S.106). Bush wollte eine solche assoziative Suche nach Informationen auf sein technisches System übertragen. Der Vorteil der Technik lag seiner Meinung nach darin, daß im Unterschied zur Vergeßlichkeit des Gehirns auch selten benutzte Verbindungen nicht verlorengingen (vgl. [Bush 1945], S. 106). Und obwohl Bush der Ansicht war, daß man das Gehirn an Schnelligkeit nicht übertreffen könne, so glaubte er doch, daß die Suche nach Informationen durch sein System um ein Vielfaches gegenüber der herkömmlichen Suche in Bibliotheken o.ä. beschleunigt werden würde (vgl. [Bush 1945], S. 106). Der Benutzer oder die Benutzerin sollte sich entlang der durch eine Information hervorgerufenen Assoziationen durch das Netz bewegen können. Dafür waren bei Memex bereits Buttons vorgesehen. Um die Suche nach Informationen zu einem bestimmten Thema zu unterstützen, stellte sich Bush die Speicherung von Wegen durch das Netz vor. Auf diese Weise könnte man eigene, bereits gegangene Wege immer wieder verfolgen oder auf vorgefertigten Wegen durch das Netz wandern.

Vannevar Bush sah als technische Hilfsmittel Photozellen und Mikrofilme vor. Jedes Memex - Gerät sollte mehrere Filme gleichzeitig zeigen und somit vergleichbar machen können. Außerdem sollte es einen Scanner geben, um handschriftliche Aufzeichnungen und anderes, neues Material einbinden zu können. Aufgrund der unzureichenden technischen Voraussetzungen in der damaligen Zeit wurde Memex jedoch nie gebaut.

Anzumerken ist hier noch, daß Vannevar Bush den Begriff Hypertext selber nicht benutzte. Er sprach immer von Memex. Dieses Gerät sollte allerdings alle Funktionen beinhalten, die einen Hypertext ausmachen.

Am Ende des Abschnitts 1.1 wird deutlich werden, daß Bushs Visionen mit der heutigen Computertechnologie noch nicht vollständig realisiert werden konnten.

1.1.3 Hypertext in der Anwendung

Frühe Formen von Hypertextsystemen gab es bereits im 16. Jahrhundert, wie das Bild von A. Ramelli aus dem Jahre 1588 zeigt (Abbildung 1.2, vgl. [HNI 1995], S. 16).

KAPITEL 1. HYPERTEXT FÜR LEHRERINNEN UND LEHRER 10

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Abbildung 1.2: Bücherrad, A. Ramelli, 1588

Dort sitzt ein Mann an einem sogenannten Bücherrad mit Planetengetriebe und hat verschiedene Bücher gleichzeitig aufgeschlagen. Das bietet ihm die Möglichkeit, Seiten aus unterschiedlichen Büchern, die für ihn einen gemeinsamen Bezugspunkt haben, durch das Drehen des Rades schnell in sein Gesichtsfeld zu rücken. Im Unterschied zu heute war es damals aber nicht möglich, die inhaltlichen Verknüpfungen zwischen den Buchseiten zu speichern.

Der Ausdruck ”Hypertext“ wurde von Ted Nelson im Jahre 1965 geprägt (vgl. [Nielsen 1990], S. 33). Er konzipierte damals sein ” Xanadu“-System, an dessen Realisierung noch heute gearbeitet wird. Nelson wollte alles, was Menschen jemals geschrieben hatten oder noch schreiben würden, als einen riesigen, unbegrenzt erweiterbaren Hypertext verwalten. In ihm sollte es möglich sein, Verbindungen zwischen irgendeinem Wort eines beliebigen Textes zu einem Wort eines anderen Textes herzustellen, denn Nelson glaubte, daß alle Informationen ineinander verflochten seien. Xanadu sollte mehr sein als normaler Text:

”hyper..., Hyper...: Die Vorsilbe mit der Bedeutung ’über, über - hinaus, übermäßig‘, [...] ist entlehnt aus gleichbed. griech. hypér, das urverwandt ist mit lat. super [...] und nhd. über.“ ([Duden 1989], S. 297)

Wegen der Größe der Datenmenge sah Nelson für Xanadu von vornherein ein Netz aus vielen Computern vor. Teile des Xanadu-Systems arbeiten bereits und werden seit 1990 von der Xanadu Operating Company vertrieben (vgl. [Nielsen 1990], S. 33).

Man könnte an dieser Stelle einwenden, daß ein Hypertext dasselbe wie eine Datenbank sei. In einem Datenbanksystem ist die Struktur der Daten jedoch durch die Sprache, die für Anfragen benutzt wird, festgelegt. Somit sind die Daten unterschiedlicher Benutzer oder Benutzerinnen, die dasselbe Datenbanksystem verwenden, von der Struktur her immer gleich. Bei einem Hypertextsystem ist dagegen weder die Form der Daten in den einzelnen Knoten vorgeschrieben, noch die Art, wie sie verknüpft werden. Die Verwendung eines Hypertextsystems ermöglicht deshalb große Flexibilität bei der Gestaltung des Textes.

Die Flexibilität geht unter Umständen sogar so weit, daß ein Knoten nicht nur Text enthalten darf. Daneben können vertonte Informationen, wie Sprache und Musik, Bilder, Graphiken, Animationen und Videofilme eingebunden werden. Hypertextprogramme, die die Verwendung solcher Medien unterstützen, werden auch ”Hypermediasysteme“ genannt. Allerdings gebraucht man in der Literatur häufig ” Hypertextsystem“ als Oberbegriff^{1}. Hypermediasysteme unterscheiden sich dabei von sogenannten ”multimedialen Systemen“, die auch die Benutzung verschiedener Medien anbieten, dadurch, daß die einzelnen Einheiten auf nichtlineare Weise verknüpft werden können.

Ein Beispiel für die Anwendung eines Hypermediasystems sind Reparaturanleitungen für das Auto oder ähnliches oder Aufbauanleitungen für Gartenhäuschen und Möbel. Sie enthalten Videos, die zeigen, welche Handgriffe auszuführen sind.

1Dem schließen wir uns an.

Der Benutzer oder die Benutzerin kann dabei manchmal, je nach eigenem Kenntnisstand, zwischen verschiedenen Videos auswählen.

Eine weitere Anwendung von Hypertext sind elektronische Lexika, die auf CD-ROM in Hypertextform gespeichert sind. Der Computer übernimmt hier das lästige Blättern in einem Buch, und man gelangt schnell zu dem Gesuchten. Neue Dimensionen eröffnen sich außerdem auch hier durch die Integration unterschiedlicher Medien. In einem Lexikon bietet es sich bei vielen Begriffen an, sie nicht nur durch Text zu erklären, sondern zusätzlich Videos, Animationen, Musik oder ähnliches anzubieten. Will man zum Beispiel etwas über Mozart wissen, kann man sich mit Hilfe des Computers dann gleich seine wichtigsten Werke anhören.

Vielen bekannt dürften die Hilfe-Funktionen diverser Software, wie zum Beispiel MS-Windows, sein. Auch sie sind in Hypertextform geschrieben. Bei Windows beispielsweise sind die Startpunkte der Links durch farbige Wörter im Text markiert. Teilweise findet man auch anklickbare Icons. Mit Hilfe dieser sensiblen Bereiche kann man zu dem Thema gelangen, für das man Hilfe benötigt.

Den Hilfe-Funktionen, den Lexika und den Reparaturanleitungen ist gemeinsam, daß sie durch den Benutzer oder die Benutzerin nicht veränderbar sind. Er oder sie kann weder neue Knoten einfügen, noch die Links im Netz verändern. Systeme, die die Veränderung eines Hypertextes durch die Anwendenden nicht unterstützen, werden ”Browsing-Systeme“ genannt^{2}. Bei den genannten Anwendungen ist die Veränderbarkeit der Daten aber auch nicht nötig, da man lediglich bestimmte Informationen suchen will. Für andere Anwendungen sind Browsing-Systeme nicht ausreichend.

Bei Xanadu muß es möglich sein, neue Knoten einzubinden, weil sich die Datenmenge schnell vergrößert. Ähnlich ist es bei Systemen, die die Autorentätigkeit der Anwender und Anwenderinnen unterstützen sollen. Ein Beispiel ist WE (Writing Environment) der TextLab-Arbeitsgruppe an der University of North Carolina in Chapel Hill, ein Programm, das in den 80er Jahren entwickelt wurde (vgl. [Inform. Spektr. 1992], S.134). WE hilft beim Schreiben eigener Texte, indem es dem Autor oder der Autorin die Möglichkeit bietet, ”...ein lose strukturiertes Netzwerk von Ideen und externen Quellen...“ aufzubauen und dieses ”...in

2engl. to browse = naschen, schmökern, weiden

eine hierarchische Ordnung...“ zu bringen, ” ...die dann in einen (linearen) Text überführt werden kann.“ ([Inform. Spektr. 1992], S. 134).

Für eine erste Vorstellung von der Anwendung des Hypertextkonzepts sollen die Beispiele genügen. Weitere bereits realisierte Systeme werden im Buch ”Hypertext & Hypermedia“ von Jakob Nielsen ([Nielsen 1990]) oder auch in dem Artikel ” Hypertext-/Hypermedia-Systeme – Ein Überblick“ , der im Informatik Spektrum erschien ([Inform. Spektr. 1992]), vorgestellt. Im Abschnitt 1.2 werden darüber hinaus einige Anwendungen im Bereich von Lehren und Lernen angesprochen.

1.1.4 Merkmale von Hypertexten

Wie man in den vorangegangenen Abschnitten sehen konnte, sind die Merkmale von Hypertext je nach Anwendung sehr unterschiedlich. Dennoch wollen wir versuchen, einen zusammenfassenden Überblick zu geben.

Allen Hypertexten ist die Darstellung beliebiger Inhaltsstrukturen gemeinsam. In diesen Strukturen kann man nach Informationen suchen, wobei man nicht mehr gezwungen ist, exakt zu wissen, was man sucht, weil die eigenen Assoziationen unterstützt werden, und man ihnen durch das Netz folgen kann. Ein Knoten ist dabei nicht nur auf eine einzige Art und Weise zu finden, sondern er kann auf ganz unterschiedlichen Wegen erreicht werden. Die assoziative Suche bietet darüber hinaus den Vorteil, unter Umständen zufällig auf Interessantes zu stoßen. Ein Nachteil kann sein, daß man von seinem ursprünglichen Informationsbedürfnis abgelenkt wird und sich im Netz verliert, was man mit ” lost in hyperspace“ bezeichnet ([Inform. Spektr. 1992], S. 139).

Um diesem Effekt entgegenzuwirken, sind gute Navigationswerkzeuge für das Netz notwendig. Viele Systeme bieten die Speicherung der letzten Schritte an, so daß man seinen Weg auch wieder rückwärts gehen kann. Dies wird in HYTEX durch den ” Return“-Button realisiert. Außerdem gibt es die Möglichkeit, immer wieder sofort zu einem definierten ”Home“-Knoten zurückzukehren. Für einen Überblick über die Struktur der Knoten sorgen manchmal graphische Darstellungen. In HYTEX gibt es die ” Map“, in der alle Knoten, ähnlich wie in Abbildung 1.1, als Rechtecke dargestellt sind. Einige Systeme bieten zu einzelnen Themen vorbereitete Wege durch das Netz an, sogenannte ” guided tours“.

In unserem Hypertext kann man mit Hilfe der Knöpfe ” Nächster Inhalt“ und ”Vorheriger Inhalt“ auf einem vorgegebenen Weg durch die Inhalte wandern.

Soll ein Hypertextsystem nicht nur die Suche nach Informationen, sondern z.B. auch die eigene Autorentätigkeit der Benutzenden unterstützen, so muß die Möglichkeit zum Erstellen und Einbinden von neuen Knoten angeboten werden. Man kann dann vor dem Hintergrund der gegebenen Texte eigene Arbeiten erstellen. Auch bei Hypertexten, deren Daten sich schnell verändern, reicht ein Browsing-System nicht aus. Und obwohl man bei reinen Browsing-Systemen eigentlich keine Möglichkeit hat, das Netz zu verändern, enthalten solche Systeme oft wenigstens eine Option, um eigene Kommentare zu den einzelnen Knoten zu speichern. HYTEX bietet dies durch die Notiz-Funktion ”Note“.

Ein weiteres Merkmal vieler Systeme ist – wie schon gesagt – die sinnvolle Integration unterschiedlicher Medien.

Neben der Gefahr des ”lost in hyperspace“ bei der Nutzung ist die Erstellung eines Hypertextes nicht immer einfach. Wir selber haben bei der Erarbeitung unserer Datenbasis festgestellt, wie schwierig es ist, das vorliegende Material sinnvoll in Informationseinheiten aufzuteilen und diese zu verknüpfen. Wir mußten uns außerdem auf das von uns verwendete Programm HYTEX einstellen und seine Befehle lernen. Der Effekt ist, daß unsere Datenbasis jetzt nur für HYTEX verwendet werden kann, worin eine generelle Schwierigkeit steckt. Während es bei Textverarbeitungssystemen Konvertierungsprogramme gibt, die einen Text, der beispielsweise in MS-Works geschrieben wurde, auch für die Benutzung von MS-Word lesbar machen, existieren solche Konvertierer für Hypertextsysteme noch nicht (vgl. [Nielsen 1990], S. 31). Es gibt also kaum Chancen, zwei Hypertexte, insbesondere wenn sie auf unterschiedlichen Programmen laufen, einfach zu verbinden. Da dies Vannevar Bush unter anderem erstrebte (vgl. [Nielsen 1990], S. 31), sind seine Visionen immer noch nicht verwirklicht.

Dennoch bietet die Unterstützung der assoziativen Suche, des Speicherns von Daten der unterschiedlichsten Art in einem Netz mit semantischen Verknüpfungen, der Integration unterschiedlicher Medien, des einfachen Anhängens von Kommentaren und der Interaktivität solche Vorteile, daß das Hypertextkonzept längst viele Anwendungen gefunden hat, auch bei der Unterstützung von Lehr- und Lernprozessen, wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden.

1.2 Vorteile für Lehrerinnen und Lehrer

In diesem Abschnitt werden zunächst einige Hypertextsysteme, die im schulischen Bereich verwendet werden, vorgestellt. Anschließend zeigen wir, wie die Arbeit des Lehrers bzw. der Lehrerin durch einen Hypertext unterstützt werden kann.

1.2.1 Hypertextsysteme für den Unterricht

In seinem Buch ”Hypertext & Hypermedia“ ([Nielsen 1990]) nennt Jakob Nielsen einige Anwendungen von Hypertexten für unterrichtliche Zwecke. Seiner Meinung nach bietet sich Hypertext besonders an für ”...open learning applications where the student is allowed freedom of action and encouraged to take the initiative.“ ([Nielsen 1990], S. 65). Aber Hypermediasysteme, wie TOPIC (vgl. [Topic]), eignen sich auch zur Erstellung sogenannter ” Drill-and-Practice“-Programme, bei denen der Übergang zu einem neuen Aufgabentyp vom Erfolg bei der Bearbeitung der vorangehenden Aufgaben abhängt.

Neben einem System, in dem Schülerinnen und Schüler nach Informationen über Biologie suchen können, stellt Nielsen das ” Palenque“-System vom Bank Street College of Education vor (vgl. [Nielsen 1990], S. 65). Mit seiner Hilfe kann mexikanische Archäologie gelehrt werden. Dabei können die Kinder auf dem Computer ”durch die Ruinen wandern“, sich zeigen lassen, wie die Stätten zu verschiedenen Zeiten vermutlich ausgesehen haben, oder Museen zu einzelnen Themen ”besuchen“. Um eine Speicherung dessen zu ermöglichen, was den Kindern wichtig erscheint, simuliert das Programm eine Touristenkamera zum Festhalten von Bildern und hält einen Notizblock bereit.

Als weiteren Bereich der Anwendung nennt Nielsen das Lernen von Fremdsprachen. Auch hier liege der große Vorteil im multimedialen Aspekt von Hypertext, denn so könne man die fremde Sprache nicht nur lesen, sondern sich auch anhören, und zwar zum Beispiel Spanisch so, wie es in Spanien gesprochen werde und nicht wie ein dänischer Lehrer es spreche ([Nielsen 1990], S. 67). Liest man einen Text in einer fremden Sprache in einem Hypertextsystem, kann man außerdem unbekannte Wörter mit der Maus anklicken und auf dem Bildschirm sofort eine Übersetzung erhalten.

Ein anderes System bietet klassische griechische Literatur und Kultur für Studierende an. Dort finden sich nicht nur eine große Sammlung von Texten, sondern auch die zugehörigen Übersetzungen und Erläuterungen zum Verständnis, die man bei Bedarf anklicken kann (vgl. [Nielsen 1990], S. 68).

Darüber hinaus stellt Nielsen auf S. 66 ein Programm für den Lehrer oder die Lehrerin vor. Es wurde an der Texas A&M University bei einem Kurs über das Thema ”Hypertext“ ausprobiert. Alle Materialien fanden die Studierenden in einem Hypertext und konnten ihre Lösungen zu Übungsaufgaben in den Text als Knoten einfügen. Dort wurden sie vom Professor mit Bemerkungen versehen. Gegebenenfalls konnte er dabei einen Studenten oder eine Studentin auf andere Lösungen verweisen, die im Netz zur Verfügung gestellt waren.

Ziel unserer Examensarbeit ist zwar auch die Unterstützung des oder der Lehrenden, jedoch nicht im universitären Bereich. Ausgangspunkt für unsere Arbeit war vielmehr die Frage, wie ein Lehrer oder eine Lehrerin bei der Vorbereitung des Schulunterrichts vorgeht und wie man diesen Prozeß durch einen Hypertext unterstützen kann.

1.2.2 Unterstützung der Unterrichtsvor- und -nachbereitung

Um eine Vorstellung von dem zu bekommen, was als Unterrichtsvorbereitung nötig ist, wollen wir an dieser Stelle kurz andeuten, wie ein idealtypischer Unterrichtsverlauf aussehen kann. Wir stützen uns dabei auf das Buch ”Unterricht mit Jugendlichen“ von Gerhard Tulodziecki ([Tulodziecki 1987]). Als ” wünschenswerte Unterrichtsphasen“ nennt Tulodziecki

1. Aufgabenstellung (Einstieg in das Thema)

2. Zielfestlegung und Bedeutsamkeit (Formulieren der Ziele für die Unterrichtseinheit, Besprechung der Bedeutsamkeit des Themas)

3. Verständigung über das Vorgehen

4. Erarbeiten von Grundlagen für die Aufgabenlösung (Sammeln und Zusammenfassen von relevanten Informationen)

5. Durchführung der Aufgabenlösung

6. Vergleich von Lösungen

7. Zusammenfassung und Anwendung

8. Weiterführung und Bewertung (Bewertung des Gelernten und des Lernweges, Zusammenstellung von weiterführenden Fragen und Möglichkeiten zu ihrer Bearbeitung)

(vgl. [Tulodziecki 1987], S. 149ff).

Für den Beginn einer Unterrichtseinheit benötigt man ein Beispiel, eine Aufgabe oder ein interessantes Problem. In einem Hypertext können gleich mehrere Einstiegsmöglichkeiten angeboten werden, aus denen man sich eine aussuchen kann – je nach den persönlichen Vorlieben oder nach dem Vorwissen der Schülerinnen und Schüler.

Bei der zweiten Phase braucht die Lehrperson Hintergrundinformationen zur Bedeutsamkeit des Themas.

Zur Erarbeitung von Grundlagen für die Lösung der Aufgabe gibt es bereits Hypertexte, die Daten für Schülerinnen und Schüler bereithalten, wie zum Beispiel ”Das Grüne Klassenzimmer“ (vgl. [Landesinstitut Soest 1994]) oder die oben genannten. Neben den herkömmlichen Medien können die Kinder dadurch den Computer zu Hilfe nehmen. Ist ein solches System im Klassenraum nicht vorhanden, so kann man auch in einem Text für Lehrerinnen und Lehrer Teile zur Mitnahme in den Unterricht zur Verfügung halten, beispielsweise Inhalte, die ausgedruckt werden können, oder - falls ein tragbarer Computer zur Verfügung steht - Animationen und Simulationen.

Schließlich bietet sich das Hypertextkonzept zur Unterstützung der Vorbereitung der 7. Unterrichtsphase, der Zusammenfassung und Anwendung, an. Zum einen kann ein Hypertext eine umfangreiche Sammlung von Aufgaben enthalten. Zum anderen können fertige Zusammenstellungen zum Ausdrucken angeboten werden.

Antworten auf die Fragen zur Weiterführung kann man im Hypertext in einer guided tour (s. 1.1) finden, in der eine Reihenfolge der Themen vorgeschlagen wird.

Man sieht, daß die Vorbereitung fast jeder dieser Unterrichtsphasen eine Suche nach Informationen verlangt, die von den Eigenschaften eines Hypertextsystems gut unterstützt wird (vgl. 1.1).

Gerhard Tulodziecki spricht nach der Beschreibung der einzelnen Unterrichtsphasen die Unterrichtsnachbereitung an. Für ihn beinhaltet sie die Fragen, ob die Lernvoraussetzungen der Lernenden den Erwartungen entsprachen, ob die Lehrhandlungen wie geplant durchgeführt werden konnten, ob die Lehrhandlungen auch die gewünschten Lernhandlungen initiierten und ob die gewünschten Lernwirkungen erreicht wurden (vgl. [Tulodziecki 1987], S. 153). Die Überlegungen dazu kann man gut als Notiz an den entsprechenden Knoten des Hypertextes hängen und beim nächsten Mal dort nachsehen, ob sich etwas bewährt hat oder ob Modifikationen im Vorgehen notwendig sind.

Hat man ein Hypertextsystem zur Verfügung, das dem Benutzer oder der Benutzerin Editiermöglichkeiten anbietet, kann der Lehrer oder die Lehrerin aufgrund von Erfahrungen notwendig gewordene Veränderungen in den Inhalten selber an den Knoten vornehmen. Außerdem kann man eigenes Material in das Netz einfügen, beispielsweise Übungsblätter und Klausuren oder bessere Unterrichtsvorschläge als der Hypertext beinhaltet und die man woanders gefunden hat. Im Netz könnte aus dem Vorgefundenen darüber hinaus Neues erstellt werden, z.B. aus Übungen von verschiedenen Übungsblättern eine neue Klausur.

Leider bietet das System HYTEX für den Computerlaien keine Möglichkeit zur eigenständigen Erweiterung des Hypertextes (vgl. 2. Kapitel). Hat man dagegen ein editierbares System zur Verfügung, erhält man eine immer umfangreicher werdende Sammlung, aus der man für seinen zukünftigen Unterricht schöpfen kann.

1.2.3 Unterstützung der multimedialen Wissensvermittlung

In den meisten Fällen werden die Unterrichtsmaterialien auf dem Papier, sei es in Form von Schulbüchern oder Kopien anderer Quellen, oder an der Tafel präsentiert. Will ein Lehrer oder eine Lehrerin in seinen bzw. ihren Unterricht darüber hinaus zum Beispiel einen Film, ein Hörspiel oder Musik mitnehmen, so bedarf dies einigen Aufwandes. Es muß nach geeignetem Material gesucht werden, zum Beispiel beim Landesinstitut für Schule und Weiterbildung in Soest. In einem Hypertext kann man Inhalte, die von den unterschiedlichsten Medien präsentiert werden, sammeln. Durch die gute Unterstützung der Suche in einem Hypertext (vgl. 1.1) wird das Finden von brauchbaren Filmen u.ä. erleichtert. Der Computer bietet außerdem die Möglichkeit der Animation und Simulation.

Vor diesem Hintergrund kann man neben dem visuellen auch andere Wahrnehmungssinne ansprechen. In unserer Datenbasis gibt es dazu Programme, die einige Folgen und Funktionen nicht nur graphisch, sondern auch akustisch darstellen.

1.2.4 Unterstützung der Vermittlung vernetzten Wissens

In ihrem Buch ”Didaktik der Analysis“ sprechen Werner Blum und Günter Törner unter anderem allgemeine didaktische Prinzipien an. Sie zitieren dazu Erich Wittmann: ” Didaktische Prinzipien sind konstruktive Regeln im Rahmen einer praktischen Unterrichtslehre.“ ([Wittmann 1975], S. 231, zit. n. [Blum/Törner 1983], S. 238). Ein didaktisches Prinzip nach Wittmann ist das Integrationsprinzip. Es besagt, daß ”...man [...] im Unterricht auf die Schaffung von Beziehungsnetzen und Sinnzusammenhängen hinzuarbeiten...“ hat ([Wittmann 1981], S. 77, zit. n. [Blum/Törner 1983], S. 239). Zum Integrationsprinzip gehören das Prinzip des Lernens in Zusammenhängen und das Prinzip der integrierenden Wiederholung (vgl. [Blum/Törner 1983], S. 239).

Durch die vernetzte Struktur, in der die Unterrichtsinhalte in einem Hypertext gespeichert sind, ist es leichter als zum Beispiel beim Schulbuch, nocheinmal auf frühere Inhalte einzugehen. Denn man muß nicht lange suchen, sondern es genügt ein Mausklick, um zu Themen zu gelangen, die zu dem aktuell behandelten in Beziehung stehen. Auch in unserer Datenbasis gibt es immer wieder Verbindungen zu weiter zurückliegenden Unterrichtsthemen. Zum Beispiel kann man bei der Betrachtung des Grenzwertes bei Funktionen durch Anklicken eines Buttons zur Betrachtung des Grenzwertes bei Folgen gelangen.

Die Anwendung eines Hypertextes durch Lehrende muß zeigen, ob seine Vorzüge tatsächlich eine Arbeitserleichterung bringen.

Unsere Datenbasis im Hypertextsystem HYTEX

Hauke Friedrich

Im ersten Teil dieses Kapitels wird das Programm HYTEX mit seinen Funktionen vorgestellt. Dabei wird der Tatsache, daß HYTEX-Dokumente auf L^{A}TEX-Dokumenten basieren, Rechnung getragen, indem die daraus entstehenden und weitere Vor- und Nachteile aufgeführt werden.

Im zweiten Teil dieses Kapitels wird beschrieben, was bei der Erstellung einer Datenbasis zu beachten ist, welche Strukturen unsere Datenbasis beinhaltet und wie die Knoten unserer Datenbasis gestaltet sind.

2.1 Das Programm HYTEX

Um die folgenden Abschnitte verstehen zu können, muß man sich Wissen über L^{A}TEX aneignen. Dazu soll der folgende Abschnitt dienen. Den Einstieg bildet eine Zusammenfassung der Entstehungsgeschichte von L^{A}TEX.

2.1.1 LATEX - die Basis von HYTEX

2.1.1.1 Die Entstehungsgeschichte von L^{A}TEX

L^{A}TEX ist die Weiterentwicklung von TEX durch Leslie \underline{La}mport. TEX wiederum wurde von Donald E. Knuth Mitte der 70er Jahre an der Stanford University entwickelt. 1978 kam die erste Version von TEX, TEX78 heraus. Die erste brauchbare Version von TEX war TEX82.

Knuths Ziel war es, ein Programm zur Textverarbeitung zu schaffen, das es jedem Autor ermöglicht, einen Text in Buchdruckqualität zu erstellen. Als potentielle Autoren sah Knuth hauptsächlich Naturwissenschaftler und -wissenschaftler-innen im weiteren Sinne. Daher war es Knuth wichtig, die Darstellung von Formeln jeder Art so gut es geht zu unterstützen.

In den 70er Jahren gab es bereits viele Programme, die es Setzern und Buchdruckern ermöglichten, mit Hilfe des Computers ihre Arbeit zu verrichten. Diese Programme konnten jedoch nur für die Druckgeräte, für die sie geschrieben worden waren, verwendet werden.

Knuth aber dokumentierte sein Programm so umfangreich, daß es mit vertretbarem Aufwand bis heute für alle Rechnertypen nutzbar gemacht werden konnte. Zudem hat Knuth sein Programm zum ”public domain“ (Eigentum der Öffentlichkeit) erklärt (vgl. [Kopka 1994], Kapitel 1).

Auch für TEX braucht man noch die Kenntnisse eines professionellen Buchsetzers. Das Arbeiten mit TEX hat etwas von der Tätigkeit eines Programmierers, da ein Autor oder eine Autorin nicht nur den eigentlichen Text zu schreiben hat. Vielmehr besteht ein fertiges TEX-Dokument aus einer sinnvollen Mischung aus Text und Befehlen. Die Befehle bestimmen das Layout des Textes und werden selber natürlich nicht mit ausgedruckt. Der Befehlsumfang von TEX beträgt 300 Basisbefehle und weitere 600 aus diesen zusammengesetzte Befehle.

Leslie Lamport hat nun durch sein L^{A}TEX-Produkt diese Setzerkenntnisse unnötig gemacht. Der Autor muß im Grunde nur noch die logische Struktur des Textes angeben, z.B. den Beginn eines neuen Kapitels. L^{A}TEX nimmt dann alle notwendigen Formatierungen selbständig vor^{1}.

Bei diesen Formatierungen wurden die gestalterischen Errungenschaften der Buchdruckkunst von Johannes Gutenberg bis heute beachtet und gestaltungsund wahrnehmungspsychologische Erkenntnisse berücksichtigt. Wie oben gesagt, hat jeder Autor dennoch alle Möglichkeiten der individuellen Gestaltung frei. Dann aber muß er den Programmiercharakter von L^{A}TEX wieder verstärkt in Kauf nehmen.

1Für jede Gliederungsebene gibt es einen bestimmten Befehl in L^{A}TEX. Solch einen Befehl setzt der Autor zu Beginn eines Textabschnitts, der der entsprechenden Ebene zugeordnet werden soll. Die Position des Textabschnitts im Gesamttext gibt an, zu welcher höhergelegenen Ebene eine tieferliegende gehört.

2.1.1.2 Merkmale von L^{A}TEX

Man kann nun erkennen, wie sich L^{A}TEX deutlich von den heute weit verbreiteten ”What you see is what you get“-Systemen wie MS-Word, WordPerfect etc. unterscheidet. Diese bieten zwar z.T. auch automatische Formatierungshilfen oder gar Formatierungsautomatismen mit oben genannten Errungenschaften an, aber die Arbeit mit den Druckvorlagen (den .dot-Dateien) von MS-Word befriedigt noch nicht^{2}.

Dafür kann man direkt im Druckbild Veränderungen vornehmen, was bei L^{A}TEX nicht möglich ist. Der vom Autor geschriebene Quelltext (Inhalte und Befehle) wird von L^{A}TEX kompiliert und das Kompilat, der gestaltete Text, in einer Datei (dem DVI-File) gespeichert. Erst mit einem eigenen Ausgabeprogramm kann man sich das Druckbild anschauen.

Diese Umständlichkeit für die Benutzer liegt darin begründet, daß die Ausgabedatei für alle Rechner mit einem entsprechenden Ausgabeprogramm kompatibel sein soll. (DVI steht für ”Device independent“ (geräteunabhängig)^{3}.) Änderungen des Layouts muß der Autor also wieder im Quelltext vornehmen.

Nur mit den nun folgenden Merkmalen von L^{A}TEX im Hinterkopf kann man die Möglichkeiten und die Grenzen des Einsatzes von L^{A}TEX für das Hypertextsystem HYTEX erkennen und verstehen. Die Vorteile und Grenzen erscheinen uns so wichtig, daß wir auf sie in einem eigenen, späteren Abschnitt eingehen möchten.

L^{A}TEX-Layouts werden mit Hilfe von Boxen erstellt. Jeder Buchstabe des Textes wird als eine Box mit weißem Hintergrund und schwarzem Buchstaben angesehen. Die Breite und Höhe der Buchstaben-Box sind Minimalwerte und

2Neben der sogenannten ’normal.dot‘, die das Standardformat definiert, werden der Anwenderin und dem Anwender weitere .dot’s z.B. für Geschäftsbriefe, Lebensläufe etc. angeboten. Diese Vorlagen können sie individuell verändern. Die .dot’s sind MS-Word-intern hierachisch gegliedert. Noch nicht dokumentiert wurde von den Herstellern von MS-Word, wie weit sich Änderungen in einer .dot auf die in der Hierachie höher und tiefer stehenden .dot’s auswirken.

3Unter ’geräteunabhängig‘ könnte man vielleicht zunächst verstehen, daß man mit dieser Datei einfach zu einem Computer gehen kann, um diese dort auszudrucken. Tatsächlich ist das DVI-File keine richtige Graphik. Es enthält vielmehr auch Informationen über die verwendeten Schriftarten. Diese Schriftarten muß man dem Computer neben dem DVI-File zur Verfügung stellen, wenn man drucken will. Ein DVI-File ist also geräteunabhängig, reicht aber alleine für einen Ausdruck nicht aus.

hängen von der Größe des jeweils enthaltenen Buchstabens ab. Ein Wort ist eine Box um eine Kette von Buchstaben-Boxen. Der Umfang der Wort-Box richtet sich nach den Maßen der Buchstaben-Boxen. Gibt es also einen Buchstaben mit einer Unterlänge, so vergrößert sich die Höhe der zugehörigen Wort-Box (vgl. [Kopka 1994], S.72).

Zeilen, das sind Ketten von Wort-Boxen, werden zu Abschnitt-Boxen zusammengefügt u.s.w.. Auch Tabellen werden L^{A}TEX-intern als eine Sammlung von Boxen angesehen, ebenso Bilder. In einem HYTEX-Dokument wird ein Linkanfang durch einen Rahmen um das Reizwort für den Link gekennzeichnet. Dieser Rahmen ist nur eine sichtbargemachte Wort-Box.

Wie oben erwähnt, muß der Autor die logische Struktur seines Textes angeben. Diese kann L^{A}TEX hervorragend nutzen, um automatisch ein Inhaltsverzeichnis anzulegen. Das Inhaltsverzeichnis eines Buches hat eine Baumstruktur. Neben der Inhaltsverzeichnis-Funktion nutzt L^{A}TEX die Struktur weiterhin, um Überschriften von Abschnitten, die sich auf einer Ebene des Baumes befinden, entsprechend fett, groß etc. zu formatieren.

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Abbildung 2.1: Die Äquivalenz von Inhaltsverzeichnis und Baum

L^{A}TEX bietet auch eine Index-Funktion an, mit deren Hilfe recht einfach ein Indexregister erstellt werden kann (vgl. Abb. 2.1). Unter anderem hier scheint der Programmiercharakter von L^{A}TEX durch. Dem Begriff, der im Indexregister erscheinen soll, wird der entsprechende Befehl vorangestellt.

2.1.1.3 Bilder in L^{A}TEX

Bilder und Graphiken führten von jeher ein Stiefkind-Dasein unter L^{A}TEX. Inzwischen gibt es Graphikprogramme für L^{A}TEX. Mit der Maus kann man dort elementargeometrische Figuren erzeugen und Texte einfügen. Die Programme erzeugen die zum Bild gehörige Befehlssequenz, die man in seinen L^{A}TEX-Text einfügt.

Viele Bilder liegen allerdings in mehr oder weniger bekannten Graphikformaten vor. Friedhelm Sowka, Rechenzentrum der Universität Düsseldorf, hat das inzwischen weit verbreitete Programm bm2font entwickelt, mit dem es möglich ist, Graphiken und Bilder verschiedener geläufiger Graphikformate in L^{A}TEX einzubinden. Auch wir haben uns dieses Programmes bedient.

bm2font legt ein Raster über das Bild (das auch BitMap genannt wird) und zerlegt es somit in Felder, die der Größe eines Buchstaben entsprechen. Buchstaben werden im Computer durch schwarze Punkte auf der sonst weißen Box des Buchstabens dargestellt. bm2font hat durch das Raster nun auch Felder mit schwarzen Punkten vorliegen. Die punktweise Darstellung des Bildes kann man sich wie bei einem Zeitungsbild vorstellen. Die Felder bilden Bildausschnitte des ursprünglichen Bildes.

bm2font definiert sich also eine ”Schrift“ (ein Font), bei der die ”Buchstaben“ durch die Felder des Rasters definiert sind. In der Ausgabe werden die ”Buchstaben“ der definierten Schrift nur noch wieder lückenlos aneinandergesetzt. So erklärt sich auch der Name ”bm2font“: BitMap to Font.

2.1.2 Aufbau eines HYTEX-Dokumentes

Ein HYTEX-Dokument ist im Grunde nur ein modifiziertes L^{A}TEX-Dokument. Wie oben schon erwähnt wurde, kann man unter L^{A}TEX ein Inhaltsverzeichnis erzeugen, indem man mit Abschnittsbefehlen (Sectioning-Commands) angibt, wann ein neues Kapitel, ein neuer Abschnitt oder Unterabschnitt beginnt. Durch die Angabe entsteht eine Baumstruktur, wie sie in jedem Buch zu finden ist.

Schreibt man nun ein HYTEX-Dokument, so ersetzt man die Abschnittsbefehle durch HYTEX-Befehle, die L^{A}TEX-intern die Gliederung beibehalten, außerdem aber den Beginn eines neuen Knotens definieren. Somit bilden die Inhalte der L^{A}TEX-Abschnitte die Inhalte der Knoten einer HYTEX-Datenbasis. Ein Knoten, der sich nicht am Ende eines Astes des Strukturbaumes befindet (also kein Blatt ist), ist häufig ein Auswahlmenü, in dem man einen der darunterliegenden Teiläste des Baumes wählen kann.

Wir stellen also fest, daß das HYTEX-Dokument in einer Baumstruktur organisiert ist, wie jedes beliebige Buch auch. Dementsprechend kann man die Knoten sequentiell durchnumerieren, genauso wie man in einem Buch Seitenzahlen hat. Genau dieses nutzt HYTEX auch aus, um Sprungziele von Links zu lokalisieren. Die Sprungziele, also die Knoten, werden intern mit der Seitennummer identifiziert.

Nun unterliegt ein HYTEX-Dokument, das ja eine hochgradig nichtsequentielle Hypertextdatenbasis darstellt, also der Baumstuktur eines sequentiell zu lesenden Buches. Dafür liegt eine technische Notwendigkeit vor. Wie anders als irgendwie sequentiell soll man eine Anzahl von Textseiten in einer Datei abspeichern?

2.1.3 Gestalt und Funktionalität von HYTEX

2.1.3.1 Zur Gestalt von HYTEX

Bisher war immer von HYTEX die Rede. An dieser Stelle möchten wir zwischen zwei Versionen von HYTEX unterscheiden. Als Besitzer von IBM-kompatiblen PC’s und MS-DOS-Nutzer haben wir die PC-Version von HYTEX, PC HYTEX, für unsere Arbeit gewählt. Darüber hinaus gibt es noch eine UNIX-Version von HYTEX. Im folgenden werden wir immer HYTEX schreiben, aber PC HYTEX meinen.

HYTEX wurde als MS-Windows-Anwendung konzipiert. Somit erscheint nach Aufruf von HYTEX ein Fenster auf dem Bildschirm, welches sofort von einem kleineren überlagert wird. In dem kleineren wird man aufgefordert, eine Datenbasis für HYTEX zu laden. An dieser Stelle kann man nun unser Produkt durch anklicken von ”analysis.dvi“ auswählen (vg. Abb. 2.2). Das ”dummy.dvi“-File kann geladen werden, um die HYTEX-Oberfläche zu erhalten, auch wenn man keine Datenbasis geladen hat.

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Abbildung 2.2: Das Load-Fenster von HYTEX

Das HYTEX-Fenster unterstützt alle Funktionen, die ein MS-Windows-Fenster anbietet. Dazu gehört auch, daß man die Größe des Fensters variieren kann. Leider ist dies unter HYTEX nur von begrenztem Nutzen. Wie bereits erläutert, ist eine Textseite Bestandteil des DVI-Files. Daher wird der Text bei Vergrößerung des Fensters nicht neu umgebrochen, um das Fenster besser auszunutzen. Verkleinert man das Fenster, so wird der Textteil, der nicht ins Fenster paßt, einfach abgeschnitten.

Der Fenstertitel (oberste Zeile des Fensters) von HYTEX enthält folgende Einträge: PCHYTEX 1.0: Node ” Name“ Page xx. Für ” Name“ erscheint bei der Anwendung von HYTEX auf eine Datenbasis der Name des aktuell sichtbaren Knotens. Wie in dem vorhergehenden Abschnitt ”Aufbau eines HYTEX-Dokuments“ ausgeführt wurde, sind die einzelnen Knoten rechnerintern sequentiell aneinandergehängt und durchnumeriert. Die Knotennummer wird in dem Fenstertitel konsequenterweise als ”Page“ bezeichnet.

Unter dem Fenstertitel befindet sich die obligatorische Menüleiste, die sämtliche Funktionen von HYTEX zur Verfügung stellt. Leider haben sich die Programmierer des MS-Windows-Produktes HYTEX nicht an die internen Standards von MS-Windows gehalten.

So ist es z.B. unter MS-Windows üblich, daß der am weitesten links stehende Menü-Eintrag ”Datei“ heißt und alle Disketten- und Festplattenoperationen (z.B. Laden einer Datei, hier einer Datenbasis) zur Verfügung stellt. Zudem ist es üblich, dort das aktuelle Programm (hier HYTEX) beenden zu können. In HYTEX muß man den Menüeintrag ”Quit“ anklicken.

Bevor wir die Funktionen von HYTEX vorstellen, möchten wir darauf hinweisen, daß man die Beschreibung aller Funktionen auch in unserer Datenbasis (quasi als On-Line-Hilfe) finden kann. Dazu betrachte man die Anleitung, die man von der Startseite unserer Datenbasis aus aufrufen kann.

Drückt man in alter MS-Windows-Manier die F1-Taste, um Hilfe zu bekommen, so erscheint auf dem Ausgabebildschirm ein in Englisch abgefaßter Text. Dieser bietet Hilfe zur Erstellung von HYTEX-Datenbasen an, beschreibt die HYTEX-Funktionen und informiert über Parameter zum Laden von HYTEX-Datenbasen.

Obwohl die HYTEX-Funktionen dort beschrieben werden, befaßt sich auch der folgende Abschnitt mit ihnen. Neben der Beschreibung der Funktionalität wird nämlich auch der Sinn und Unsinn einiger Funktionen diskutiert.

2.1.3.2 Die HYTEX-Funktionen

Aktivieren eines Links

Auf jeder Seite eines HYTEX-Dokumentes befinden sich Wörter, die von einem Rahmen umgeben sind. Die Rahmen zeigen an, daß an dieser Stelle der Startpunkt eines Links ist. Das eingerahmte Wort informiert die Benutzer darüber, zu welchem Inhalt sie gelangen, wenn sie diesen Link aktivieren.

Man aktiviert einen Link, indem man die Maus innerhalb des Rahmens positioniert. Dann verändert sich der Mauszeiger zu einer Hand mit ausgestrecktem Zeigefinger. Ein Druck der linken Maustaste aktiviert den Link.

Die Menüpunkte ” Page up“, ” Page down“ und ” Return“

Da eine HYTEX-Datenbasis wie ein Buch (d.h. sequentiell) aufgebaut und durchnumeriert ist, haben die Hersteller von HYTEX auch eine ’Umblätter-Funktion‘ programmiert.

”Page up“: Diese Funktion entspricht dem normalen Umblättern (in Leserichtung) in einem Buch.

”Page down“: Analog entspricht dies dem Zurückblättern in einem Buch. Die Inhalte, die mit einem Hypertext-System dargestellt werden, sind aller-

dings nichtsequentiell angeordnet, auch wenn sie rechnerintern so gespeichert sind. Daher erscheinen uns diese beiden Funktionen nur bezüglich der Druck-Funktion (s.u.) sinnvoll.

”Return“: Sehr wichtig dagegen ist die ” Return“-Funktion. Wie erläutert wurde, kann man auf jeder Seite einen der dort gezeigten umrahmten Begriffe mit der Maus anwählen. Man geht durch dieses Anwählen also einen ’Weg‘ durch die Inhalte, die in Knoten zu Einheiten zusammengefaßt wurden. Dieser Weg wird gespeichert.

Man kann diesen Weg wieder rückwärts gehen, indem man die ”Return-Funktion“ benutzt. Mit jedem Mausklick auf ”Return“ gelangt man einen Knoten des ’Weges‘ zurück.

Die Notiz-Funktion

Die Notiz-Funktion ” Note“ stellt für die Anwender die einzige Möglichkeit dar, der vorliegenden Datenbasis selber Informationen hinzuzufügen. Diese Informationen beschränken sich auf kurze Texte, die manuell eingetippt werden müssen. Dieser Text wird dem aktuellen Knoten zugeordnet, der bei Aufruf dieser Funktion auf dem Bildschirm zu sehen war. Man kann also jedem Knoten eine eigene Notiz anhängen. Die Nutzung der MS-Windows-Copy-Paste-Funktion ist nicht vorgesehen.

Das weiße Kästchen rechts neben dem Menüeintrag zeigt durch einen Haken an, daß dem aktuellen Knoten bereits eine Notiz angehängt wurde.

Um eine Notiz anzuhängen (Kästchen leer) oder eine angehängte Notiz zu lesen und ggf. zu verändern (Kästchen mit Haken), klickt man mit der Maus auf den Menüeintrag ”Note“.

Ein Fenster (leer oder mit der Notiz) öffnet sich (vgl. Abb. 2.3). In diesem Fenster kann nun ein bereits vorhandener Text verändert oder ein neuer eingefügt werden.

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Abbildung 2.3: Das Notiz-Fenster

Mit ”OK to save“ kann man den geänderten bzw. editierten Text speichern. Mit ”Dismiss“ läßt man den Notizzettel in dem beim Aufruf vorgefundenen Zustand.

Die Utilities (vgl. Abb. 2.4)

”Map“, ” Load“, ” Page“und ” Print“

”Map“: Die Map (Karte) zeigt eine Netzstruktur der Knoten an. Wir schreiben ’eine Netzstruktur‘, da nicht das Netz der Knoten mit allen Links gezeigt wird, sondern die schon erwähnte Baumstruktur (vgl. Abb. 2.5). Der Sinn einer Map eines Hypertext- oder -mediasystems besteht darin, den Anwendern die Orientierung in der nichtsequentiellen Datenbasis zu erleichtern. Durch die Reduzierung auf die Baumstruktur wird die HYTEX-Map dieser Aufgabe nicht gerecht.

”Load“: Mit diesem Menüpunkt kann man eine neue Datenbasis in HYTEX einlesen. Der Aufbau des Load-Fensters ist MS-Windows-üblich und bedarf bzgl. seiner Funktion keiner weiteren Erklärung.

Erwähnt werden muß nur, daß HYTEX ausschließlich mit Latex erzeugte DVI-Files verarbeiten kann. Genauer gesagt werden bei der Kompilierung des

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Abbildung 2.4: Das Utilitie-Menü von HYTEX

HYTEX-Quellcodes nicht nur das DVI-File, sondern noch einige weitere Files erzeugt, die HYTEX notwendige Informationen zur Verfügung stellen^{4}.

”Page“: Hat man sich die Seitennummer eines bestimmten Knotens gemerkt, so kann man die ”Page“-Funktion aufrufen, und dort die Nummer eingeben, um in einem Schritt zu dieser Seite zu gelangen.

Vermutlich wollten die Hersteller von HYTEX durch diese Funktion eine weitere Navigationshilfe bereitstellen, die zudem recht leicht zu realisieren war, da die Seitenzahlen beim Kompilieren des Quelltextes automatisch mitgeliefert werden. Da diese ”Page“-Funktion aber extrem auf der Sequentialität der HYTEXinternen Darstellung der Knoten aufbaut, ist sie für ein ’echtes‘ \underline{Hyper}text-System eigentlich sinnlos.

”Print“: Ruft man den ”Print“-Befehl auf, so öffnet sich ein Fenster, in dem man eingeben kann, von welcher Seitennummer bis zu welcher Seitennummer man die Seiten drucken möchte. Da man gezwungen ist Seitennummern anzugeben, geben nun die oben genannten Seitenfunktionen bedingt einen Sinn.

4Dazu gehört u.a. das .idx-File (idx = Index) für das Indexregister, das .lab-File, in dem die Knotennamen mit den Seitennummern und die Baumstruktur gespeichert werden und das .hyp-File (hyp = hyper), in dem Links zu anderen DVI-Files verzeichnet sind.

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Abbildung 2.5: Ein Ausschnitt der Map unserer Datenbasis, der auch die Baumstruktur wiedergibt.

”Search“, ” Search repeat“, ” Contents“ und ” Index“

”Search“: Wählt man die ”Search“-Funktion, öffnet sich ein Fenster, das es ermöglicht, einen Suchbegriff einzugeben. Dieser Begriff wird dann im Dokument gesucht, und der Knoten, in dem er gefunden wird, erscheint auf dem Bildschirm. Die Option ” convert to lower case letter“ erhöht die Trefferrate dadurch, daß bei jedem Wortvergleich alle Buchstaben des Suchbegriffs und des zu prüfenden Wortes in die Kleinschreibweise konvertiert werden.

Wurde der Begriff in einem Inhalt gefunden, den der Benutzer bzw. die Benutzerin nicht interessiern, so können sie durch die Taste ”F3“ oder den Aufruf von ”Search repeat“ die Suche fortsetzen.

Leider haben wir keiner der Diplomarbeiten der AG, die HYTEX erstellt hat, entnehmen können, wie die Suche durchgeführt wird. Wir gehen davon aus, daß sie sequentiell bzgl. der Seitennumerierung ausgeführt wird. Jedoch ist nicht klar, ob die Suche auf der aktuell gezeigten Seite oder auf Seite eins begonnen wird.

Weiterhin ist bei uns nach einigen Tests der ”Search“-Funktion der Eindruck entstanden, als ob nur die mit der Maus anklickbaren gerahmten Begriffe bei der Suche berücksichtigt werden. Man kann nämlich in dem File, das die Linkinformationen, also auch die Knotennamen enthält, eine Suche starten. Andererseits kann sich die Suche auch auf das Index-Verzeichnis (s.u.) beziehen. – Dies geht nicht aus den o.g. Diplomarbeiten hervor.

”contents“: Schreibt man mit L^{A}TEX ein Dokument, so hat man die Möglichkeit, ein Inhaltsverzeichnis erstellen zu lassen, die sog. ” table of contents“. (Diese Tafel gibt übrigens auch den Baum der Map an. So ist z.B. ein Kapitel ein Vater von Unterkapiteln, diese wiederum sind Väter von tiefer verschachtelten Abschnitten.) Diese Tafel kann man sich mit der ” contents“-Funktion anschauen, einen Eintrag auswählen und durch Mausklick dorthin gelangen.

So ein Inhaltsverzeichnis strukturiert einen hochgradig sequentiellen Text. Da unsere Inhalte jedoch durchaus nichtsequentiell, daher in diesem Sinne ”unstrukturiert“ sind, haben wir eine solche ”table of contents“ von L^{A}TEX nicht erstellen lassen. Die Funktion ”contents“ steht für unsere Daten nicht zur Verfügung.

Möchte ein Autor diese Funktion in seiner Datenbasis verwenden, so muß er selber in L^{A}TEX den Befehl dazu geben.

”Index“: Mit L^{A}TEX kann man sich ein Indexregister automatisch erstellen lassen. Dazu muß man den Worten, die dort eingetragen werden sollen, einen L^{A}TEX-Befehl voranstellen. Zur Erstellung des Indexregisters ermittelt L^{A}TEX die Seitenzahl des Eintrags. Diese Seitenzahlen machen sich die Hersteller von HY-TEX zunutze, da man mit der Seitenzahl das Sprungziel eines Links hat.

Mit der Funktion ”Index“ ruft man das Indexregister auf, wählt mit der Maus einen Eintrag aus und gelangt so auf die Seite, auf der der Eintrag registriert ist. (Es ist also jeder Eintrag der Indexliste ein Linkanfang.)

Durch diese Funktion werden die Anwender sehr gut bei der Navigation in einer Datenbasis unterstützt. Sie gibt einen Überblick über die Begriffe, die in der Datenbasis behandelt werden und ermöglicht einen schnellen Zugriff auf Informationen zu diesen Begriffen.

Unsere Datenbasis stellt diese Funktion nicht zur Verfügung, da ihre Implementation den zeitlichen Rahmen dieser Examensarbeit geprengt hätte.

Die Stack-Funktionen

Was ist ein Stack? Einen Stack kann man sich durch eine Münzhalterung für das Auto verdeutlichen. Sie besteht aus einem Rohr, in das man von unten Geldmünzen hineinklemmen kann. Diese entnimmt man wieder, wenn man Parkgebühren zu zahlen hat. Wichtig hierbei ist, daß die Münzen auch wieder unten entnommen werden. Anders ausgedrückt: Die zuletzt hinzugefügte Münze wird zuerst wieder entnommen. Genauso arbeitet ein Stack:

Der Stack selber entspricht dem Rohr, die Münzen werden durch Informationen ersetzt. Die Informationen beim HYTEX-Stack sind die Seitenzahlen (und die Namen) der Knoten. Wie schon bei der Return-Funktion erwähnt wurde, speichert HYTEX den ’Weg‘, den man durch die Inhalte geht, damit er auch rückwärts wieder begehbar ist. Dieses Speichern ist durch einen Stack realisiert worden. Verläßt man einen Knoten, so wird die Nummer des Knotens unten an den Stack gehängt.

Drückt man ” Return“, so wird die unterste Nummer vom Stack genommen und zu diesem Knoten (zurück-) gesprungen.

“Goto stack entry”: Weiter ist es möglich, von der aktuellen Seite aus zu einem beliebigen Knoten, den man schon einmal besucht hat, zurückzuspringen. Dazu wählt man die ”Goto stack entry“-Funktion. Dort wird einem in einer Liste der gesamte Stack angezeigt. Mit der Maus kann man einen Knoten auswählen und durch einen Doppelklick gelangt man zu diesem. (Auch dieser Sprung wird der Liste angefügt.)

”New stack entry“: Mit ”New stack entry“ kann man dem Stack den Knotennamen des aktuellen Knotens anhängen.

”New stack entry on page“: Diese Funktion hingegen ermöglicht es, die Nummer eines Knotens, der nicht der aktuellen Seite entspricht, anzuhängen.

”Delete stack entry“: Mit Hilfe dieser Funktion kann man aus der Stack-Liste einen Knoten durch Mausdruck auswählen, um ihn dann aus der Stack-Liste zu entfernen.

”Clear Stack“: Hier kann man die komplette Stack-Liste löschen.

Grundsätzlich sind diese Funktionen für Datenbasen sehr nützlich. Leider sind sie inkonsequent programmiert worden. Wenn man bei unseren Daten die Stackliste betrachtet, so wird man als Knotennamen in der Regel eine Numerierung in dem Format ”xx.xx“ finden, die wir wegen besserer Übersichtlichkeit für uns als Autoren gewählt haben.

Neben diesem Namen können die Knoten aber auch noch ’richtige‘ Namen tragen, die der Autor optional angeben kann. Diese optionalen Namen erscheinen auch in der Map, da sie aussagekräftiger als die ”xx.xx“-Numerierung sind. Konsequenterweise sollte man auch für die ”Stack“-Funktion den Knotennamen wählen, den die Benutzer schon von der Map her kennen.

Nur wenn keine ’richtigen‘ Namen implementiert wurden, sollte HYTEX auf die anderen Namen zurückgreifen. Da als Sprungmarken die Seitenzahlen genommen werden, würde die Funktionalität der Stack-Funktionen nicht beeinträchtigt!

Die ” Bookmark“-Funktionen

”Bookmark“ heißt übersetzt ”Lesezeichen“, und als ein solches kann man es verstehen.

”New bookmark“, ”Goto bookmark“: Muß man die Arbeit mit einem HYTEX-Dokument unterbrechen, kann man mit dem Befehl ” New bookmark“ ein Lesezeichen an der aktuellen Seite anbringen. Arbeitet man später weiter, so kann man mit der ”Goto bookmark“-Funktion in einem Sprung die Seite mit dem Lesezeichen erreichen.

”New bookmark on page“: Es ist aber nicht notwendig, daß man sich auf der Seite befindet, an die das Lesezeichen angehängt werden soll. Ruft man die Funktion ” New bookmark on page“ auf, kann man dort die zu kennzeichnende Seite durch ihre Nummer wählen. Da es nur ein einziges Lesezeichen gibt, wird mit jedem Setzen eines solchen das vorherige gelöscht.

”Delete bookmark“: Mit dieser Funktion kann man das Lesezeichen löschen.

Ob ein Lesezeichen gesetzt wurde oder nicht, kann man an der Menüleiste von HYTEX ablesen: Rechts neben der ”Quit“-Funktion befindet sich ein weißes Kästchen, wie es auch neben der ” Note“-Funktion zu finden ist. Existiert nun ein Lesezeichen, ist dort ein ”B“ eingetragen, ansonsten ist es leer.

”Programm“: Mit ”Programm“ kann man das ”PAN“-Programm^{5} aufrufen.

5HYTEX ist eigentlich ein Bestandteil der Problemlöseumgebung PAN. Auch PAN wurde

”Help“ und ” Quit“

”Help F1“ : Klickt man mit der Maus die ”Help“-Funktion an oder drückt die F1-Taste, so erscheint ein in englischer Sprache abgefaßter Hilfetext. Dort kann man sich über die Grundregeln zur Erstellung eines HYTEX-Dokumentes informieren. Doch dafür ist es notwendig, daß man L^{A}TEX-Dokumente schreiben kann.

Weiterhin werden dort die Funktionen von HYTEX beschrieben und verschiedene Parameter aufgeführt, die man beim Aufruf einer HYTEX-Datenbasis verwenden kann. Da unsere Datenbasis keinen Parameter benötigt, möchten wir hier nicht weiter darauf eingehen.

”Quit“ : Ein Anklicken der ”Quit“-Funktion beendet das HYTEX-Programm, schließt das HYTEX-Fenster, und man befindet sich wieder auf der MS-Windows-Oberfläche.

2.1.4 Eine Mängelliste für HYTEX

In diesem Abschnitt möchten wir auf Mängel von und rund um HYTEX eingehen, die uns während der Arbeit an unserer Datenbasis aufgefallen sind.

2.1.4.1 HYTEX und die Soft- und Hardwareperipherie

Die Installation von HYTEX ist zwar eine zeitaufwendige aber problemlose Angelegenheit, die nach üblichem MS-Windows-Standard abläuft. Später jedoch stellt man fest, daß auch die Installation von HYTEX nicht allen Ansprüche, die man an eine MS-Windows-Applikation stellt, genügt, so daß man noch manuell Kopiervorgänge vornehmen und Konfigurationen durchführen muß (s.u., ”Drucken unter HYTEX“).

Die pchytex.sty: Will man mit L^{A}TEX eine HYTEX-Datenbasis erstellen, so benötigt man eine Datei (die sog. pchytex.sty), die L^{A}TEX die HYTEX-Befehle zur Verfügung stellt. Diese Befehle braucht L^{A}TEX, wenn es den Quelltext kompi-

von der AG-Köckler entwickelt. Mittlerweile wird HYTEX aber als eigenständiges Programm angesehen (vgl. [Rüsenberg 1994 ], S. 6).

liert. Gleich bei unseren ersten Kompilierversuchen mußten wir feststellen, daß offensichtlich Fehler in dieser Datei vorhanden waren.

Nach einigen Tagen waren wir in der Lage, die L^{A}TEX-HYTEX-Programmier-sprache semantisch so zu verstehen, daß wir von ihr auf die Befehlssyntax, die wir für den Quelltext benötigten, schließen konnten. Auch die Möglichkeiten der Fehleranalyse waren nun für eine präzise Fehlerbeschreibung genügend genau, um Probleme Herrn von Schroeders genau beschreiben zu können. Erfreulicherweise war er in der Lage, die beanstandeten Probleme zu lösen, so daß zum Schluß die Erzeugung der Datenbasis keine Fragen und Probleme offen ließ.

Druckertreiber unter HYTEX: Jede MS-Windows-Applikation, von der aus man drucken kann, unterstützt den sogenannten Druckmanager. Der Druckmanager ist ein kleines MS-Windows-Programm, das alle Druckaufträge der verschiedenen Programme entgegennimmt und sie der Reihe nach an den Drucker weiterleitet. Ohne eine Begründung wurde nicht nur auf die Unterstützung des Druckmanagers, sondern auch auf einen Druckertreiber an sich verzichtet.

Will man unter PC HYTEX einen Drucker benutzen, so muß man an einer uns nicht bekannten Stelle den Druckertreiber, den man auch für L^{A}TEX verwendet, manuell einbinden.

Die Qualität der Schrift: Bei ersten Testläufen von Teilen unserer Datenbasis mußten wir feststellen, daß die Schriftqualität in dem HYTEX-Ausgabefenster erheblich schlechter war, als auf unserem L^{A}TEX-Ausgabebildschirm.

Nach einigem Suchen fanden wir heraus, daß die Schrift von PC HYTEX eine Auflösung von 82DPI (DPI = Dots per Inch) beträgt. (Zum Vergleich: Es gibt heute keinen Drucker mehr zu kaufen, der eine geringere Auflösung als 300DPI hat, Laserdrucker haben eine Auflösung von mind. 600DPI. L^{A}TEX2e (Das ist die L^{A}TEX-Version, mit der wir arbeiten.) arbeitet bei uns mit einer Auflösung von 360DPI.) Diesen Wert findet man in der hytex.ini-Datei.

Jedes MS-Windows-Programm hat eine solche .ini-Datei, in der die Grundeinstellungen des Programms gespeichert werden. Alle .ini-Dateien befinden sich in dem MS-Windows-Hauptverzeichnis. In der hytex.ini findet man den Eintrag ”resolution = 82“.

Andererseits versuchte mir Herr von Schroeders zu verdeutlichen, daß das, was unter ”resolution“ angegeben wird, tatsächlich die Schriftgröße angibt. Betrachtet man jedoch die Ausgabe unter HYTEX, so kann man sich des Eindrucks nicht erwehren, daß man eine 82DPI-Schriftauflösung vor sich hat.

HYTEX liefert Font-Verzeichnisse mit verschiedenen Zahlen als Namen, darunter auch 82.

Um auch Bilder in HYTEX einbinden zu können, muß man sie mit ”bm2font“ für eine Auflösung von 82DPI vorbereiten, was dafür spricht, daß ”resolution“ die Auflösung angibt. Erstellt man andererseits ein Bild mit z.B. 170DPI (Das ist ein Wert, der auch als Font-Verzeichnisname existiert.), so erscheint unter HYTEX das Bild größer als vorher^{6}. Dies spricht dafür, daß ”resolution“ doch die Größe der Schrift angibt. Diese Frage konnte bis zur Beendigung dieser Arbeit nicht geklärt werden.

Verändert man in der hytex.ini den Wert von ” resolution“ in einen, der als Fontname existiert, so verweigert HYTEX den Programmstart.

Begründet wurde uns die mangelhafte Auflösung wie folgt: MS-Windows benutzt einen eigenen Graphiktreiber, einen anderen als MS-DOS, und dieser MS-Windows-Treiber unterstütze eine höhere Auflösung nicht. Mir ist allerdings von verschiedenen MS-Windows-Applikationen (z.B. Corel Draw) und von MS-DOS-Programmen (z.b. PASCAL), die von MS-Windows aufgerufen werden, bekannt, daß sie für ihre Ausgabefenster eigene Treiber verwenden. Diese Lösung hätte man auch für HYTEX wählen können. Man hätte z.B. den Treiber verwenden können, den L^{A}TEX unter MS-DOS für die Ausgabe benutzt.

Da das Schriftproblem nicht zu unserer Zufriedenheit gelöst werden konnte, ist es leider nun nicht möglich, Indizes unserer Variablen zu erkennen, auch Zähler und Nenner von Brüchen müssen oft erraten werden. Aus diesem Grund haben wir uns entschlossen, unsere HYTEX-Bildschirmseiten als eigenen Band, quasi als Anhang zu unserer schriftlichen Hausarbeit, herauszugeben.

Unschön mag auch die Standard-Knopfleiste (Übung, vorheriger Inhalt, nächster Inhalt etc.), die fast jeden Knoten abschließt, wegen der unterschiedlich hohen Rahmen um die Reizwörter wirken. Die Unterschiede in den Rahmenhöhen liegen darin begründet, daß hier einfach der L^{A}TEX-interne Wort-Rahmen (vgl. 2.1.1)

6Bei der Erstellung einer Datenbasis für HYTEX muß man also jedes Bild zweimal mit ”bm2font“ bearbeiten. Das erstemal für die Layoutarbeit unter L^{A}TEX, und noch einmal für die Ausgabe unter HYTEX.

sichtbar gemacht wurde. Durch unterschiedliche Über- und Unterlängen der umrahmten Worte wurden die Rahmen unterschiedlich hoch definiert. Dem hätte man durch einen von Über- und Unterlängen unabhängigen, genügend großen Rahmen variabler Breite entgegenwirken können.

Nach der Lektüre von Texten über Hypertextsysteme hatten wir erwartet, daß jeder Knoten auf einer Bildschirmseite Platz finden wird. Sollte die Größe des Ausgabefensters nicht ausreichen, so sollte man erwarten, daß man mit Hilfe der vertikalen Scrollbar den gesamten Knoten betrachten kann. Eine variable Seitenlänge wäre notwendig.

Leider wird unter HYTEX die konstante Seitenlänge von L^{A}TEX verwendet. Diese kann man am Anfang des Dokumentes festlegen. In der sog. ’pchytex.sty‘ wurde die Seitenlänge so gewählt, daß man für den unteren Teil einer Seite die Scrollbar benutzen muß. Da die Verlängerung der Seite um diese wenigen Zentimeter es einem nur selten erspart, den Knoten auf mehrere Seiten zu verteilen, hätte man die Seitenlängen auch so formatieren können, daß die Nutzung der Scrollbar nicht mehr nötig ist.

Die Maus unter HYTEX: Weiterhin fällt auf, daß die Position des Mauszeigers von HYTEX nicht besonders gut kalibriert wurde. Grundsätzlich ändert sich der Mauszeiger in eine Hand mit ausgestrecktem Finger, wenn sie über einen Linkanfang bewegt wird. Leider verändert sich der Zeiger nicht genau in den Grenzen des Rahmens um das Reizwort des Linkanfangs, so daß man Positionierungsprobleme bekommt, wenn viele sensitive Bereiche eng aneinanderliegen, so wie es in der Map oft vorkommt. Aus diesem Grund haben wir es möglichst vermieden, sensitive Bereiche nahe aneinander zu legen.

Die Map: Leider ist es bis heute nicht gelungen, die Funktionen, die die Map anbieten soll, auch bereitzustellen. So haben wir uns bei der Erstellung der Datenbasis die Mühe gemacht, zu jedem Knoten einen aussagekräftigen Namen zu finden, der laut den HYTEX-Dokumentationen in der Map erscheinen soll. Grundsätzlich zeigt die Map je Knoten höchstens fünf Buchstaben an. Durch einen Klick mit der rechten Maustaste auf jene fünf Buchstaben sollte ein Fenster mit folgenden Knoteninformationen erscheinen: (aussagekräftiger) vollständiger Knotenname und seine Seitennummer.

Ein Fenster erscheint auch, jedoch zeigt es konstant die Informationen eines im Stukturbaum übergeordneten Knotens.

Außerdem soll man bei der Erstellung einer Datenbasis in der Lage sein, die Anzeige eines Knotens in der Map durch einen Parameter unterdrücken zu können. Benötigt man für einen Inhalt mehr als eine Bildschirmseite, so muß man unter HYTEX eine Sequenz von Knoten erstellen, die gemeinsam einen Knoten bilden sollen, den Knoten des Inhaltes. Sinnvoll wäre es, wenn man in der Map nur einen Knoten der Sequenz betrachten müßte. Ein Befehl, der dieses ermöglichen soll, ist implementiert worden, aber dieser Unterdrückungsmechanismus funktioniert nicht, die Map zeigt alle Knoten an.

Klickt man einen Knoten in der Map mit der linken Maustaste an, so soll man automatisch das HYTEX-Ausgabefenster mit dem Inhalt des gewählten Knotens erhalten. Dies wäre eine sehr gute Orientierungshilfe für die Anwender, wenn sie funktionieren würde.

Weiterhin kommt es gelegentlich zu Systemabstürzen, wenn man die waagerechte Scrollbar des Map-Fensters benutzt.

Abschließen möchten wir diesen Abschnitt mit der Bemerkung, daß es gerechtfertigt ist, HYTEX als Hypertextsystem und nicht als Hypermediasystem zu bezeichnen. Zweitere liefern von Haus aus sowohl Programme (Treiber) zur Nutzung von Tönen und Klängen, als auch Programme für graphische Animationen, die den Anwendern ggf. sogar zu eigenen Editierzwecken angeboten werden.

HYTEX bietet dagegen die Möglichkeit, externe Programme, sowohl MS-Windows- als auch DOS-Programme, aufzurufen. Somit kann man natürlich auch Sound- und Graphikanimationen einbinden, aber integriert sind diese Präsentationsmöglichkeiten in HYTEX nicht. Bedenkt man, daß HYTEX ein Bestandteil der Problemlöseumgebung ”PAN“ ist, so erwartet man von HYTEX die Hypermediaeigenschaften auch nicht.

Wir haben die Möglichkeit des Aufrufens externer Programme für unsere PASCAL-Programme genutzt.

2.1.4.2 Zur Benutzerfreundlichkeit

Die Benutzerfreundlichkeit von Software ist im allgemeinen ein wichtiges Thema, mit dem verschiedene Softwarehersteller für ihr Produkt werben. Auch wir haben uns Gedanken über die Benutzerfreundlichkeit von HYTEX unter Berücksichtigung der Anwender unserer Datenbasis gemacht.

Drucken unter HYTEX: Einfach nicht mehr zeitgemäß ist die von den HYTEX-Anwendern zu erbringende Leistung, in HYTEX manuell einen Druckertreiber einbinden zu müssen.

Aber auch die Auswahl des zu druckenden Materials in HYTEX stellt die Anwender vor große Probleme. Wie wir wissen sind die Knoten sequentiell wie die Seiten eines Buches durchnumeriert. Zum Drucken gibt man an, von welcher Seitennummer bis zu welcher man ausdrucken möchte. Tatsächlich aber werden im Regelfall die Anwender mehrere Knoten längs ihres ’Weges‘ durch die Datenbasis ausdrucken wollen. Dazu müssen sie sich die Seitenzahlen der von ihnen besuchten Knoten merken und dann jede Seite einzeln ausdrucken.

Die DVI-Eigenschaften der Datenbasis haben dazu geführt, daß es nicht möglich ist, einen Teil der Ausgabe mit der Maus zu markieren, um diesen auszudrucken.

Für realisierbar halten wir jedoch die Idee der anwendererzeugten Arbeitsmappe. Durch einen Tastendruck müßten die Anwender eine komplette Seite der Datenbasis in eine eigene Arbeitsmappe kopieren können^{7}. Die Arbeitsmappe bestände nur aus einem Stack, der die Seitennummern der Seiten der Datenbasis enthält, die der Mappe zugefügt wurden. Diese Arbeitsmappe könnte dann z.B. auch für einen Ausdruck bereitstehen, da ja nur ganze Seiten ausgedruckt werden müssen^{8}.

Es wäre also nicht nötig, Stücke aus der Ausgabe des DVI-Files herauszuschneiden, um sie in die Mappe zu kopieren.

Editierfunktionen: Bis auf die Notiz-Funktion haben die Anwender von HYTEX keine Möglichkeit, selber Daten der Datenbasis hinzuzufügen, es sei denn sie sind bereit, sich Kenntnisse in L^{A}TEX und HYTEX-Dokumenterstellung anzueignen.

Die potentiellen Anwender unserer Datenbasis jedoch, Lehrerinnen und Lehrer, werden diesen Ehrgeiz voraussichtlich nicht entwickeln. Damit sie ein Hy-

7Wegen der DVI-Eigenschaften ist es schwer, Ausschnitte von Seiten zu kopieren.

8Will man Seiten entlang eines Weges drucken, so muß man die Druckfunktion für jede Seite einzeln aufrufen, da die besuchten Seiten i.d.R. nicht sequentiell bzgl. der Seitennummern sind. Diese Seiten in der Arbeitsmappe könnte man durch eine entsprechende modifizierte Druckfunktion komfortabel ausdrucken.

permediasystem sinnvoll einsetzen können, wären anwenderfreundliche Editierfunktionen nützlich, um z.B. ausgearbeitete Klausuren mit einem Link an den entsprechenden Inhalt zu knüpfen, oder um didaktisch wertvoll erscheinende Graphiken in die Datenbasis einbinden zu können, etc.

Die Map: Neben den oben genannten Mängeln gibt es noch weitere Verbesserungsvorschläge für die Map. Die dort gezeigte Baumstruktur macht eigentlich für eine ’echte‘ Hypertext-Datenbasis keinen Sinn. So ist es z.B. möglich, ein Lexikon mit Hilfe eines Hypermediasystems zu präsentieren, wobei die Links die Querverweise, die man von gedruckten Lexika kennt, ersetzen. Wie soll man dort eine Baumstruktur rechtfertigen?

Eine gute Funktion stellt die HYTEX-Version unter UNIX bereit. Dort ist es nämlich möglich, bestimmte Bereiche der Map zu vergrößern oder zu verkleinern. Wenn man dann noch die Möglichkeit hätte, per Knopfdruck (z.B. durch ’+‘ bzw. ’-‘ ) die Anzahl der Links zu vergrößern oder zu verringern, dann hätte man ein hervorragendes Map-Tool^{9}.

2.1.4.3 Die Dokumentation von HYTEX

Wie bereits an verschiedenen Stellen bemerkt, gab es Lücken und Mehrdeutigkeiten in den Dokumentationen bzgl. HYTEX, die uns von Herrn Prof. Köckler, dem Leiter der Arbeitsgruppe, die HYTEX entwickelt hat, zur Verfügung gestellt wurden.

In Gesprächen mit Herrn Prof. Köckler wurden wir darüber informiert, daß für PC HYTEX nur noch wenig bis keine Arbeit investiert werden wird. Prioritäten bzgl. Wartung und Weiterentwicklung dagegen hat die UNIX-Version von HYTEX.

2.1.4.4 Fazit: L^{A}TEX hat zu engen Grenzen geführt

Wie in 2.1.1 beschrieben, bildet L^{A}TEX die Basis von HYTEX. Die Auswirkungen davon haben wir in den vorhergehenden Abschnitten beschrieben.

9Die Realisation würde voraussetzen, daß man mittels einer natürlichen Zahl aus einem beschränkten Intervall die ’Wichtigkeit‘ eines Links bestimmen könnte, um beim Verringern der Links die wichtigen am längsten auf dem Bildschirm zu halten. Ein Informatiker würde sagen, daß er einen gewichteten Graphen erzeugen und verwalten müßte.

Zusammengefaßt läßt sich sagen, daß die HYTEX-Entwickler die Möglichkeiten, die ihnen von L^{A}TEX gegeben werden, sofort erkannt und mal mehr, mal weniger gut ausgenutzt haben. So ist vor allem die Index-Funktion von L^{A}TEX für eine gut gelungene Navigationsfunktion für HYTEX verwendet worden. Die Umsetzung des Inhaltsverzeichnisses zur Map halten wir allerdings für ungenügend. Da aber eine Map grundsätzlich ein wichtiges Werkzeug für Hypermediaanwender ist, hätte man sich hier von den Vorgaben von L^{A}TEX lösen und z.B. einen gewichteten Graphen erzeugen müssen. (Das hätte natürlich einen sehr großen Mehraufwand für die Entwickler bedeutet!)

Die Page-Funktionen erscheinen uns als nicht sinnvoll, und die Druckfunktion entspricht nicht MS-Windows-Standard. Vielleicht hätte man mehr Mühe auf die Druckfunktion, als auf die Page-Funktion verwenden sollen.

Grundsätzlich ist die Idee, die Textverarbeitung L^{A}TEX als Basis zu verwenden, jedoch richtig da die Zielgruppe des Produkts naturwissenschaftlich arbeitende Menschen sind. Kein Textverarbeitungssystem gestaltet Formeln so gut wie L^{A}TEX.

2.2 Die Datenbasis

In den folgenden Abschnitten möchten wir auf die Eigenschaften der von uns erstellten Datenbasis für HYTEX eingehen. Zunächst möchten wir in 2.2.1 auf vier Problemkreise aufmerksam machen, die man bei der Erstellung einer Hypermediadatenbasis beachten muß.

Der Abschnitt 2.2.2 befaßt sich mit den drei verschiedenen Strukturen, die in unserer Datenbasis enthalten sind, der Menuestruktur, die die Anwender zu sehen bekommen, der internen Struktur, die sich an der Verzeichnisstruktur von L^{A}TEX orientiert und dem ”roten Faden“, der eine ”guided Tour“(vgl. 1.1) durch unsere Datenbasis ermöglicht.

Schließlich werden wir im Abschnitt 2.2.3 unsere Grundideen für die Gestaltung unserer HYTEX-Seiten erläutern.

2.2.1 Die Erstellung der Netzstruktur

Es gibt bereits eine Anzahl von Veröffentlichungen (u.a. [Gloor 1990], [Kuhlen 1991], [Engbring 1994] und indirekt auch [Bliefert u.a 1989]) die sich mit der Erstellung von Hypermediadatenbasen beschäftigen. Auch sie berücksichtigen z.T. die vier folgenden Problemkreise.

2.2.1.1 Auswahl der Inhalte

Ein grundsätzliches Problem, das sich beim Schreiben eines jeden Textdokumentes stellt, ist die Abgrenzung der zu präsentierenden Inhalte nach außen und die gleichzeitige Abrundung nach innen.

Zu Beginn hatten wir uns vorgenommen, den gesamten Stoff der Analysis in der Sek. II in unserer Datenbasis zu berücksichtigen. Schnell aber zeigte sich, daß das den Umfang dieser Arbeit übersteigen würde. Deswegen wurde die Arbeit auf die beiden Begriffe ’Funktionen‘ und ’Folgen‘ und ihrer Eigenschaften beschränkt.

Damit läßt sich ein Vorkurs zur Analysis und ein Einstieg in die Analysis aufbauen, da sowohl bei den Funktionen als auch bei den Folgen an, aus der Sek.I bekanntem Wissen, angeknüpft wird, und unsere Inhalte eine Basis bilden, auf der sich ein Kurs zur Differential- und Intergralrechnung aufbauen läßt. Somit glauben wir, inhaltlich abgerundeten Bereich zu präsentieren.

2.2.1.2 Vom Sequentiellen zum Vernetzten

Wie macht man aus sequentiell vorliegenden Inhalten eine sinnvolle Hypermediadatenbasis? Es ist natürlich keine große Errungenschaft, wenn man das Umblättern einer Seite im Buch durch einen Mausklick ersetzt. Auch die Ersetzung einer Fußnote eines Buches durch einen eigenen Knoten kann es nicht rechtfertigen, ein Hypermediasystem zu verwenden.

Es reicht also in der Regel nicht, eine Buchform nur zu technisieren, also ein neues Medium für alte Strukturen zu wählen. Ausnahmen bilden hier CD-ROM-Lexika ohne Animationen (vgl. 1.1).

Uns kommt es darauf an, daß Lehrerinnen und Lehrer die Vernetzung der Inhalte durch unsere Datenbasis wieder verdeutlicht wird, so daß sie diese ihren Schülerinnen und Schülern im Unterricht mit vermitteln können. Somit haben wir neben den Standard-Knöpfen (vgl. 2.2.3.2) auch ’echte‘ Hyper-Links^{10} realisiert (vgl. 2.2.1.4).

Man muß also versuchen, in Texten, die man in eine Hypermediadatenbasis verwandeln will, eine inhaltliche Vernetzung zu finden, die ’echte‘ Hyper-Links rechtfertigt.

Die von uns präsentierten Inhalte haben wir Schulbüchern entnommen ([Bock/Walsch 1993] [Griesel/Postel 1992] [Baierlein, u.a. 1985] [Kroll 1988]).In diesen Büchern wurden die Inhalte z.T. in verschiedenen Reihenfolgen behandelt. Daher haben wir eine eigene, inhaltlich sinnvolle und für unsere ” guided tour“ günstige Reihenfolge der Inhalte festgelegt und auf einem Papier aufgeschrieben^{11}.

Als nächstes suchten wir sinnvolle innermathematische Zusammenhänge, die wir durch Verbindungslinien zwischen den zugehörigen Inhalten auf dem Papier verdeutlichten.

Die Links der ’guided tour‘ ermöglichen also das sequentielle Lesen der Datenbasis, die Links zwischen innermathematischen Inhalten sind ’echte‘ Hyperlinks.

Wir unterscheiden zwischen Inhalten, die in jedem Kurs behandelt werden müssen (die ’Pflicht‘) und solchen, die vielleicht nur für Leistungskurse interessant sind (die ’Kür‘). Mit unserem Pflichtkurs legt man die Basis, auf der die Differential- und Integralrechnung aufbauen kann. Dieser Pflichtkurs bestimmt auch die ’guided tour‘(vgl. 2.2.2.2).

2.2.1.3 Einteilen der inhaltlichen Einheiten

Als nächstes muß man sich über die inhaltlichen Einheiten klar werden. Jede Einheit soll später einen Knoten bilden.

Bei dieser Tätigkeit sollte man darauf achten, den inhaltlichen Umfang der Knoten nicht zu klein zu wählen, da sonst die Zusammenhänge trotz der Hyper-Eigenschaften der Datenbasis verloren gehen können. Andererseits sollte sie natürlich auch nicht zu groß sein, da man sonst eine größere Anzahl von Seiten für jeden Knoten benötigen würde. Dann würden in jedem Knoten ziemlich

10Durch die Standardknöpfe werden inhaltlich benachbarte Knoten verbunden. ’Echte‘ Hyperlinks ermöglichen ’weite‘ Sprünge z.B. zwischen Inhalten zu Funktionen und Folgen. 11Wie diese Reihenfolge aussieht und wie sie begründet wird, ist in den Kapiteln 3 und 4 beschrieben.

große sequentielle Abschnitte entstehen, was auch nicht Sinn einer Hypertextdatenbasis ist.

Aufgrund dieser Abwägungen wird man bei uns Knoten der Seitenlängen eins bis vier finden.

2.2.1.4 Sinnvolle Links zwischen den Einheiten

Die Links der ”guided tour“, die den ”roten Faden“ bilden, sind sicherlich sinnvoll. Interessanter aber sind die Links, die wir schon einmal als ’echte‘ Hyper-Links bezeichnet haben.

Die erste Idee, ’echte‘ Hyper-Links zu ermitteln, war folgende: lies dir die Knoten durch, und immer wenn du auf einen Begriff stößt, den du irgendwo eingeführt hast, verbinde den Begriff und die Einführung durch einen Link.

Grundsätzlich haben wir an diesem Verfahren festgehalten, doch haben wir festgestellt, daß nicht jede so gefundene Link-Möglichkeit auch sinnvoll ist. So kann z.B. innerhalb von wenigen Zeilen zweimal derselbe Begriff auftauchen. Dann genügt es aber, nur das erste Mal den Link zu erstellen.

Auch inhaltlich lassen sich Links finden. So kann man z.B. vom Knoten, der die Monotonie von Funktionen behandelt zum Knoten, der die Monotonie von Folgen behandelt, gelangen und zurück.

Zuletzt sind noch die Links zwischen Inhalten und Übungen zu erwähnen. Die Inhalte bilden die vorletzte Ebene des Baumes, der die Datenbasis repräsentiert(vgl. 2.2.2.4). In dieser Ebene verläuft der ’rote Faden‘. In der Ebene darunter befinden sich die Übungen. Die Links zwischen Inhalten und Übungen sind also echte Hyper-Links. Bezüglich der ’roten Faden‘-Struktur kann man diese Links als ’orthogonal‘ bezeichnen (vgl. Abb. 2.6).

{����� \atop �����}

Abbildung 2.6: Die Übungen und der ’rote Faden‘ stehen ”orthogonal“ zueinander.

2.2.2 Die Strukturen

2.2.2.1 Die für die Anwender sichtbare Menuestruktur

Startet man unsere Datenbasis unter HYTEX, so erscheint das Deckblatt in dem Ausgabefenster. Es enthält zugleich ein Auswahlmenue, bei dem man wählen kann, ob man die Kurzanleitung (eine Art Überlebensanweisung für HYTEX) oder die ausführliche Anleitung lesen möchte, oder ob man sich Anregungen zum Vorbereiten von Unterrichtsstunden zu den Themenbereichen ’Funktionen‘ bzw. ’Folgen‘ holen möchte.

Wählt man eine der drei zuletzt genannten Möglichkeiten, so gelangt man wieder zu einem Menue. Wir haben diese drei Menues ’Kapitelmenues‘ genannt. Jedes Kapitel ist in Abschnitte unterteilt, die man von den Kapitelmenues aus erreichen kann. Doch zunächst gelangt man zu einem Abschnittsmenue. Von dort aus sind endlich die Inhalte auf der Inhalte-Ebene zu erreichen (vgl. Abb. 2.7).

Wir haben diese Menuestruktur realisiert, da wir potentiellen Anwendern, die schon mehrmals mit unserer Datenbasis gearbeitet haben, einen schnellen Zugriff auf alle Inhalte ermöglichen wollten. (Die theoretische Informatik lehrt, daß das Suchen in einem Baum, und die Menuestruktur entspricht einem Baum, einen Aufwand von O(log(n)) hat. Ein geringerer Aufwand ist z.Z. nicht bekannt.)

Weiterhin glauben wir die Menuepunkte so gut gewählt zu haben, daß ein assoziatives Browsen (vgl. 1.1) möglich ist.

������ ������ ������

Abbildung 2.7: Die Menuestruktur

2.2.2.2 Der ’Rote Faden‘

Der inhaltliche ”rote Faden“verläuft innerhalb der Inhalte-Ebene. Er beginnt bei Inhalten zum Thema ’Funktionen‘, wechselt zu den ’Folgen‘, um zuletzt bei den ’Funktionen“zu enden (vgl. Abb. 2.8).

�����

Abbildung 2.8: Verlauf des ’roten Fadens‘ in den Inhalten der Datenbasis

Wie man bemerkt, schließt der ”rote Faden“ die Übungen nicht mit ein. Wir hielten das nicht für sinnvoll, da die Anwender auf den verschiedenen Seiten, die der ”rote Faden“ durchläuft, Übungen selber aufrufen können. Würde der ”rote Faden“ die Übungen mit einschließen, so würde er Sprünge von einem Inhalt zu den entsprechenden Übungen und wieder zurück initiieren und das viele Male. Außerdem würden die Übungen den inhaltlichen Ablauf ständig unterbrechen und dadurch die Lehrenden beim Vorbereiten des Unterrichts stören.

Inhalte und Übungen liegen quasi wie zwei Schienen nebeneinander, und man kann oft von einer Schiene zur anderen und zurück springen (vgl. Abb. 2.6).

Der ”rote Faden“ stellt unsere ”guided tour“ durch die Datenbasis dar. Somit ist er als Vorschlag für den inhaltlichen Ablauf einer Unterrichtsreihe anzusehen.

2.2.2.3 Die L^{A}TEX-Stuktur

Die L^{A}TEX-Struktur kann man am besten an der Map ablesen. Man wird feststellen, daß das Menue zu den Übungen in dem Baum, den die Map zeigt, ’gleichberechtigt‘ neben den Funktionen- und Folgenmenues steht. Somit befinden sich die Übungen auf einer (Baum-) Ebene wie die Inhalte. Die Abb. 2.6 bis 2.8 zeigen jedoch, daß die Übungen in der ’Rote Faden‘-Struktur eine Ebene unter den Inhalten liegen. Hier zeigt sich also ein deutlicher Unterschied zur ”roter Faden“-Struktur. Der Vergleich mit den beiden nebeneinanderliegenden Schienen kann hier nicht mehr angewendet werden.

2.2.3 Die Gestaltung der HYTEX-Seiten

Im weiteren werden wir unser Seitenlayout beschreiben und erläutern. Durch die Wahl der Seitenelemente, ihrer Anordnung und Gestaltung wollen wir

• eine bessere Lesbarkeit der Bildschirmseiten erreichen und

• die Orientierung innerhalb der Daten ermöglichen.

Eine zu den folgenden Punkten ähnliche Beschreibung findet man auch in unserer Datenbasis, wenn man im Anleitungsmenue ’Layout‘ anwählt.

2.2.3.1 Die Kopfzeile

Betrachtet man die Kopfzeile einer Inhalt-Seite (also nicht ein Menue), so findet man vier Objekte, die auf fast jeder Inhalt-Seite der Datenbasis zu finden sind: Kapitel; Thema; die waagerechte Trennlinie; der Titel des Knotens. Diese Kopfzeilen befinden sich nur jeweils auf den ersten Seiten eines Knotens. Da wir auch Knoten erstellt haben, die sich über zwei oder drei Seiten erstrecken, gibt es die Kopfzeile eben auf nur fast jeder Inhalt-Seite.

Bis auf die Trennlinie dienen die Angaben der Kopfzeile zur inhaltlichen Orientierung.

Kapitel: In dieser Datenbasis haben wir drei verschiedene Kapitel angelegt: Anleitung, Funktionen und Folgen. Thema: Hier kann man ablesen, zu welchem Abschnitt des aktuellen Kapitels der gerade betrachtete Knoten gehört. Titel des Knotens: Wie die Bezeichnung sagt, finden Sie hier den Titel des aktuell betrachteten Knotens.

2.2.3.2 Die Standard-Knöpfe

{������ \atop ������}

Abbildung 2.9: Standardknöpfe

Am Ende einer jeden Bildschirmseite (mit Ausnahme der Menues) befinden sich ein oder mehrere umrahmte Begriffe, mit deren Hilfe man die Seite ggf. zu verschiedenen anderen Knoten oder Seiten verlassen kann.

Übungen: Wählt man diesen Link, so gelangt man zu den Übungen, die zu dem Inhalt des Knotens, von dem aus man die Übungen aufgerufen hat, gehören. Menue: Dieser Knopf ist in den Kapiteln ’Funktionen‘, ’Folgen‘ verwirklicht worden. Klickt man ihn an, so gelangt man zu dem nächsten übergeordneten Abschnittsmenue. (Beispielsweise gibt es in dem Kapitel ” Folgen“einen Abschnitt ”Grenzwerte“. Liest man gerade einen Knoten dieses Abschnittes und klickt ”Menue“ an, so gelangt man zum Grenzwertmenue.) vorheriger / nächster Inhalt: Am Ende eines Knotens (der aus mehreren Bildschirmseiten bestehen kann), befinden sich diese beiden Knöpfe. Mit dem ersten gelangt man auf die erste Bildschirmseite des inhaltlich vorherigen Knotens, mit dem zweiten entsprechend auf die erste Seite des inhaltlich folgenden Knotens. Die inhaltliche Reihenfolge orientiert sich an dem ”roten Faden“, der einen Vorschlag zu einer Unterrichtsreihe darstellt. weiter / zurück: Wie gesagt, kann ein Knoten aus mehreren Bildschirmseiten bestehen. Um innerhalb eines solchen Knotens die Seite vorwärts oder rückwärts wechseln zu können, bedient man sich der Knöpfe ”weiter“ bzw. ” zurück“.

2.2.3.3 Die Randsymbole L, S und !

Bei vielen der Texte findet man am linken Rand eines der Symbole L, S und !. Die Symbole sollen dem Leser helfen, die Art der Information, die ihn im zugehörigen Text erwartet, einordnen zu können. Somit können Anwender, denen unsere Datenbasis schon bekannt ist, ihnen unwichtig erscheinende Texte leichter erkennen und überschlagen. Die Symbole haben die folgenden Bedeutungen:

L: Das L zeigt an, daß im folgenden eine Lehrerinformation gegeben wird. Die Lehrerinformation haben wir zudem durch eine kleinere Schriftart angesetzt, da wir der Meinung sind, daß Lehrende diese Informationen überspringen werden, wenn sie zum wiederholten Male mit diesem System ihren Unterricht vorbereiten. S: Das S steht für ” Schülerinformation“. Diese kann z.B. aus einem Resümee oder einem Ausblick bestehen. Schülerinformationen sollen dem Schüler dabei helfen, die Inhalte im Kopf zu strukturieren und zu vernetzen. Zum Teil eigenen sich die Schülerinformationen auch als Tafelanschrieb. !: Hiermit möchten wir auf besonders wichtige Informationen für Lehrer hinweisen. Sie können organisatorischer Art sein oder den inhaltlichen Aufbau betreffen. Auch können sie auf die Notwendigkeit hinweisen, einen Begriff oder eine Aufgabe zu behandeln, da die dort aufgezeigten Inhalte für einen späteren Inhalt relevant sein werden.

2.2.3.4 Einrückungen, Rahmen

Zuletzt soll auf den Gebrauch von Doppelrahmen und Einrückungen aufmerksam gemacht werden:

Doppelrahmen: Um Inhalte folgender Art haben wir einen Doppelrahmen gelegt: Definitionen, Bezeichnungen, Sätze, Folgerungen

Somit fallen die für die Anwender wichtigen Inhalte deutlich auf. Auch jemand, der sich einen kleinen Überblick über einen Abschnitt verschaffen will, braucht nur die doppelumrahmten Inhalte zu beachten, um den Ablauf begreifen zu können.

Einrückungen: An einigen Stellen haben wir exemplarisch Aufgaben z.T. mit Lösungen aufgeführt, die zur Erarbeitung oder Anwendung von Inhalten dienen. Sie setzen sich durch Einrückung vom linken Bildschirmrand von den anderen Texten ab.

2.2.4 Die Gestalt der PASCAL-Programme

Die für die Programme verwendete Programmiersprache heißt exakt “Turbo Pascal 6.0”, kurz PASCAL, der Firma Borland. Um graphische Ausgaben erzeugen zu können, benötigt man die sogenannten .bgi-Files. Aus diesem Grund erlaubt die Firma Borland die Vervielfältigung dieser Files in Zusammenhang mit Programmen. Da auch wir Graphiken programmiert haben, haben wir eine Kopie der genannten Files in das Unterverzeichnis ”bgi“ des Verzeichnisses ”database “ gelegt (vgl. 2.2.5).

Die Hauptfunktion der PASCAL-Programme sowohl für die Funktionen als auch für die Folgen ist ihr Einsatz im Unterricht. Daher wurden sie bzgl. der Farbwahl so gestaltet, daß sie sich für die Projektion mit einem Tageslichtschreiber eignen: der Hintergrund ist weiß, das Koordinatensystem ist schwarz, die Graphen werden in verschiedenen, dunkel gehaltenen Farben präsentiert.

Die Idee war, möglichst große Helligkeitskontraste zu erzeugen. Der weiße Hintergrund mit dunklen Elementen wurde dem schwarzen Hintergrund mit hellen Elementen vorgezogen. Es ist nicht sinnvoll, erst ein dunkles Rechteck zu erzeugen, und dann darin die Elemente, auf die es ankommt, darin einzufügen. Die Wahrnehmungsinformation des Rechteckes ist wertlos.

Alle dargestellten Elemente werden doppelt so dick ausgegeben, wie sie auf einem Computerbildschirm ausgegeben würden. Damit wird gewährleistet, daß sie durch den Projektoreinsatz nicht unkenntlich werden.

Durch die Pascal-Programme wollen wir einen kleinen Einblick in die multimedialen Möglichkeiten von Hypertextsystemen bieten. So finden sich dort ”bewegte Bilder“, Töne und eine sehr eingeschränkte Möglichkeit der Interaktion (An- und Ausstellen von Ton, Starten einer Animation und Eingeben von Werten).

2.2.5 Die Datenorganisation auf der Festplatte

Zur Installation von HYTEX: Zunächt sollte man HYTEX mit Hilfe der Originaldisketten in das Verzeichnis ’c:\hytex‘ installieren. (Macintosh-Benutzer sollten den Begriff ’Verzeichnis‘ gegen ’Ordner‘ austauschen.) Dann lege man sich ein Unterverzeichnis ’c:\hytex\database‘ an, welches wiederum die Unterverzeichnisse ’c:\hytex\database\pascal‘ und ’c:\hytex\database\bgi‘ enthalten soll.

In das pascal-Verzeichnis sollte man die Kompilate der von uns geschriebenen Pascal-Programme (.exe-Files) kopieren. Wie in 2.2.4 gesagt, müssen sich im bgi-Verzeichnis die Files, die für die Graphikausgabe benötigt werden, befinden.

In dem database-Verzeichnis selber stehen zudem die analysis-Dateien, die unsere Datenbasis für HYTEX ausmachen.

Man wird in dem HYTEX-Verzeichnis außerdem das Unterverzeichnis ’fonts‘ finden. Es wurde bei der Installation von HYTEX automatisch erzeugt. In diesem Verzeichnis befinden sich weitere Unterverzeichnisse, die die Schriften für HYTEX enthalten, u.a. auch die in 2.1 genannten 82DPI-Schriften. In das 82DPI-Verzeichnis müssen zusätzlich die von bm2font erzeugten Schriften (.pk-Files) kopiert werden (vgl. 2.1.1.3). Von bm2font werden zusätzlich die sog. Metriken der Schriften erzeugt (.tfm-Files), auf die wir oben nicht eingegangen sind. Diese Metriken sollte man in das fonts-Verzeichnis selber kopieren.

Zur Destallation von HYTEX: Wenn man HYTEX und alle Daten, die wir zusätzlich auf die Festpaltte kopiert haben, von der Platte entfernen möchte, so muß man das HYTEX-Verzeichnis mit allen Unterverzeichnissen löschen. Zudem befindet sich im Windows-Verzeichnis eine Datei mit dem Namen ’hytex.ini‘. Auch diese ist zu löschen.

Zuletzt entfernt man das HYTEX-Icon von der Windows-Oberfläche.

Das Thema ”Folgen“ in HYTEX

Hauke Friedrich

3.1 Die Inhalte der Datenbasis ”Folgen“

In diesem Abschnitt soll zunächst begündet werden, warum Folgen im Mathematikunterricht der Sek.II behandelt werden sollten. Danach werden die Inhalte zum Thema Folgen ausführlich dargestellt und eine Begründung gegeben, weshalb sie in die Datenbasis eingegangen sind und warum in der von uns gewählten Reihenfolge.

3.1.1 Folgen als Inhalt des Analysisunterrichts

Heute ist es fast eine Selbstverständlichkeit, daß Folgen im Schulunterricht behandelt werden. In den 70er Jahren dieses Jahrhunderts war das nicht so, da für die grenzwertfreie Analysis, die betrieben wurde, die Folgen als möglicher Einstieg in die infinitesimale Mathematik nicht benötigt wurden. Wie so eine Analysis aussehen kann, wird in [Freund/Kirsch/Püschel/Schröder 1960] beschrieben.

3.1.1.1 Argumente für die Folgen im Analysisunterricht

Warum wir in unserer Datenbasis dennoch das Thema Folgen behandeln, möchten wir kurz darlegen: In unserem Studium haben wir an verschiedenen Stellen (so in Seminaren der Erziehungswissenschaften und in fachdidaktischen Vorlesungen) gelernt, daß das oberste Ziel der allgemeinbildenen Schule ist, die jungen Menschen auf ihr zukünftiges Leben vorzubereiten, ihnen eben das Wissen zu vermitteln, das sie zur Bewältigung des zukünftigen Alltages benötigen. Damit dieses Ziel erreicht werden kann, dürfen die einzelnen Fächer in der Schule auch nicht mehr seperat nebeneinander stehen. Heute besteht der Wunsch nach fächerübergreifenden Unterricht.

Zur Befriedigung dieses Wunsches bezüglich der Mathematik eignen sich die Folgen besonders gut: in den verschiedensten Wissenschaften werden empirisch Daten erhoben. Dabei fallen Meßreihen an, die sich als Folgen betrachten lassen, und bei denen man Gesetzmäßigkeiten finden möchte. Kroll schreibt dazu:

”In den empirischen Wissenschaften spielen quantitative Methoden eine grundlegende Rolle. Diese bestehen, grob gesprochen, darin, daß man Daten erhebt und auf ihre Gesetzmäßigkeiten untersucht. Dabei kommt es sehr häufig auf die Reihenfolge der Daten an, insbesondere dann, wenn das von der Wirklichkeit erhobene Bild bei einer anderen Anordnung verfälscht würde.“ ^{1} (vgl. [Kroll 1988], S. 22) Aber auch viele andere Prozesse in verschiedenen Wissenschaften lassen sich mit Hilfe von Folgen beschreiben, z.B.

• Populationsentwicklungen in den Sozialwissenschaften und der Biologie.

• radioaktiver Zerfall in der Physik.

• Wirkkurven in der Medizin.

• Marktentwicklungen und Kapitalveränderungen in den Betriebs- bzw. Volkswirtschaftswissenschaften.

Die Möglichkeit, Gelerntes anzuwenden, ist ein Teilbildungsziel der Allgemeinbildung. Bedenkt man, daß die gymnasiale Oberstufe die allgemeine Hochschulbefähigung anstrebt, so sieht man, daß in den verschiedensten Disziplinen das Wissen über Folgen eingesetzt werden kann.

Eine fachdidaktische Vorlesung aus dem Bereich der Informatik (vgl. [Schwill 1995], §1) machte uns mit dem Gedanken von fundamentalen Ideen von Wissenschaften vertraut. Die infinitesimale Arbeitsweise, wie sie in [Richtlinien Mathematik Sek II] auf Seite 35 (Thema 3. ”Differentialrechnung“, Unterthema 1. ”Grundlegung der infinitesimalen Arbeitsweise“) genannt wird,

1Texthervorhebungen wie im Original

ist sicher eine solche fundamentale Idee der Mathematik, die mit Hilfe der Folgen vermittelt werden kann. Dies schlägt auch der oben zitierte Text vor (vgl. [ebendort]).

Selbiges unterstützen auch W.Blum und G.Törner in ihrem Buch ”Didaktik der Analysis“ in der Einleitung zu dem Kapitel ”Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit“ [Blum/Törner 1983], S.67:

”Lange Zeit wurde in Hochschulbüchern die Analysis auf dem Fundament einer breitangelegten Thematisierung des Folgenbegriffs aufgebaut. An diesem \underline{grundlagentheoretischen} Stellenwert der Folgen in der sogenannten klassischen Analysis hat sich auch in der Zeit moderner Analysisdarstellungen nichts geändert, im Gegenteil: durch den ständig steigenden Einsatz von Computern sind Folgen im Zusammenhang mit Iterationsverfahren als ein universelles Werkzeug in \underline{inner- sowie außermathematischen Anwendungssituationen} eher aufgewertet worden. Diesem Trend kann sich auch der Unterricht nicht verschließen, nicht allein nur um der hohen \underline{mathematischen} und \underline{historisch} begründeten Bedeutung des Folgenbegriffs wegen, sondern insbesondere aufgrund des \underline{didaktischen Im-} \underline{pulses} durch den \underline{algorithmischen Aspekt}.“ ^{2}

Einen hohen grundlagentheoretischen Stellenwert hat darüber hinaus das Konvergenzphänomen, von dem W.Blum und G.Törner sagen, es sei eines der charakteristischen Wesenszüge der Analysis (vgl. [Blum/Törner 1983], S.67-68), was der Bedeutung einer fundamentalen Idee entspricht.

Dadurch ist eine wichtige innermathematische Bedeutung der Folgen aufgezeigt. Doch W.Blum und G.Törner sprechen auch von außermathematischen Anwendungssituationen, bei denen Folgen eine wichtige Rolle spielen, Beispiele haben wir oben genannt.

Funktionen und Folgen sind Werkzeuge, die nach einer Modellbildung realer Situationen diese beschreiben. Je besser man das Werkzeug ” Folgen“ beherrscht, desto besser kann man einen Teil der Lebensumwelt begreifen. Der obigen Aufzählung kann man Teile der Lebensumwelt entnehmen, die sich mit Hilfe von Folgen beschreiben lassen. Somit kann man noch einmal einer Unterrichtsreihe über Folgen einen anwendungsorientierten, allgemeinbildenden und fächerübergreifenden Charakter bescheinigen.

2Unterstreichungen wie im Original

Weiterhin wird in [Richtlinien Mathematik Sek II] (im Unterthema 2. ”Geometrische Eigenschaften der Graphen und ihre analytische Fassung“ des selben Themas) gefordert, die Monotonie und die Beschränktheit von Funktionen, also auch von Folgen, zu thematisieren.

Alle bis hier genannten Themenbereiche zuzüglich einer Einheit über Partialsummen werden in der Datenbasis über Folgen vorgestellt und werden durch das Curriculum des Landes Nordrhein Westfalen in den Analysisunterricht eingebettet.

3.1.1.2 Argumente für und gegen grenzwertfreie Analysis

Wie oben schon erwähnt, gab es Ende der 60-er Jahre bis Anfang/Mitte der 70-er Jahre dieses Jahrhunderts eine Zeit, in der eine grenzwertlose Analysis propagiert wurde. Diese Analysis entstand aus der Idee, die Mathematik im wesentlichen auf die Begriffe Menge, Struktur und Abbildung zu begründen. Gegenüberstellen wollen wir im folgenden kurz die Argumentationsansätze für diese ”neue Mathematik“ anhand von Aussagen von Hans-Georg Steiner und Georges Papy und eine Stellungnahme gegen die ” neue Mathematik“ von Hans Freudenthal. Die Argumentationen beziehen sich weniger auf die Analysis (also auf die Sek.II) als auf die Einführung der Mathematik in der Primarstufe und der Sek.I. Daher haben wir uns bemüht, die Auswirkungen des Auftauchens und des Verschwindens der ”neuen Mathematik“ auf die Analysis kurz zu skizzieren.

Argumente für die ” neue Mathematik“ : Grundsätzlich tritt Steiner für eine ständige Neuerung der Mathematik ein, vgl. [Steiner 1965], S. 88: ”Da es bei der Bildung des Menschen um die Entfaltung der subjektiven Kräfte in Abstimmung und Auseinandersetzung mit den hier und jetzt wirkenden objektiven Mächten geht, kann ein mathematischer Unterricht unserer Tage sich nicht an dem Wissensstand und der Mathematikauffassung eines Euklid oder auch Euler oder deren Konservierung in den Schulbüchern der vergangenen Jahrzehnte orientieren.“ ^{3} Die bisher tradierte Schulmathematik

3Hervorhebungen wie im Original

beschreibt er so, vgl. [Steiner 1965], S. 89: ”So war der traditionelle Mathematikunterricht in der Hauptsache bestimmt von der Auffassung der Mathematik als Lehre von Raum und Zahl, wobei die Geometrie als in einer festen, apriori vorgegebenen deduktiven Ordnung stehend und das Gebiet der Zahlen in einer althergebrachten Systematisierung gesehen wurden, von denen aus jede zum Unterricht gehörige Einzelfrage ihre bestimmte Stellung und Antwort hatte.“

Felix Klein betonte die genetische Methode in der Mathematik (vgl. [Steiner 1965], S. 89,90), die als die ” Überwindung der überkommenen Auffassung von Inhalt, Systematik und Methode der Mathematik anzusehen ist “.

Weiter beschreibt Steiner u.a. den Wandel der Aufgaben des angewandten Mathematikers, vgl. [Steiner 1965], S. 90: ” Auch das heutige Vorgehen des angewandten Mathematikers paßt zu diesem Bild. Seine wichtigste Aufgabe liegt nicht mehr im Einsatz bekannter Theorien und Rechentechniken, die man zudem mehr und mehr den Maschinen überläßt, sondern in der begrifflichen Aufbereitung und strukturellen Erschließung erst noch zu mathematisiernder Gegenstandsbereiche.“ Dafür wird der Mathematiker nun heuristische Methoden zum Erschließen, Abstrahieren und Ordnen, dann zum Algorithmisieren und Axiomatisieren benötigen (vgl. [ebendort], S. 90), und: ”Neben die Mathematik als Fertigprodukt tritt damit gleichrangig die Mathematik der schöpferischen Methode.“

Als die dieses neuen mathematischen Denkens angemessene Grundlage sieht Steiner die Begriffe Menge, Struktur und Abbildung, vgl. [Steiner 1965], S. 91:

”Überall in der Mathematik - auch im Bereich der Anwendungen - werden Mengen von Objekten erfaßt, denen eine bestimmte konkrete Struktur aufgeprägt ist. Zusammenhänge zwischen solchen strukturierten Mengen können mit Hilfe von Abbildungen hergestellt werden. Grundlegend ist dabei der Begriff der isomorphen Abbildung von strukturierten Mengen aufeinander.“^{4} Diese Isomorphien erzeugen eine Form der Abstraktion der Mathematik, die für den angewandten Mathematiker von ”höchster arbeitsökonomischer Bedeutung“ ist (vgl. [ebendort], S. 90), da die Kenntnisse über eine Struktur mittels des Isomorphismus auf eine andere, aus einer Anwendung neu entstandenen Struktur, übertragbar sind.

In seinem Buch [Papy 1968] zeigt Georges Papy, wie in der Schule eine Mathematik gelehrt werden kann, die auf den drei Grundbegriffen (Menge, Struktur und

4Hervorhebungen wie im Original

Abbildung) begründet ist^{5}. Wie sich eine solche Grundlegung auf den Analysisunterricht auswirken könnte, zeigt ein Entwurf einer topologisch-geometrischen, grenzwertfreien Analysis von Helmut Freund, Arnold Kirsch, Werner Püschel und Heinz Schröder (s. [Freund/Kirsch/Püschel/Schröder 1960]), die allerdings in der Einführung bemerken (vgl. [ebendort], S.4): ” Die Gedanken in diesem Heft sind aus dem Wunsch entstanden, die bei der Einführung der Differentialrechnung auftretenden Überlegungen anschaulich stärker zu verankern. Damit ist nicht gemeint, daß die mathematisch einwandfreien Begründungen durch Scheinuntersuchungen ersetzt werden sollen. Die anschaulichen Elemente sind vielmehr als Ergänzung, Vertiefung und Belebung gedacht.“

Man kann daraus schließen, daß die Autoren des Zitats selber die topologische Analysis als die allein richtige nicht ansehen. Vielmehr möchten sie die ’übliche‘ infinitesimale Analysis illustrieren.

Zuletzt möchten wir noch folgendes Zitat aus dem oben genannten Buch von Papy anführen, da dort eine der Argumentationen gegen die Mengen-Struktur-Abbildungs-Mathematik verankert ist, vgl. [Papy 1968], S. 1, 2: ”Eine erste, ziemlich unbestimmte, Mengenvorstellung gehört schon zu den mitgebrachten Grundkenntnissen kleiner Kinder. Bei den zwölfjährigen Schülern [...] ist dieser Begriff schon weiter entwickelt, aber nicht genau genug für die Bedürfnisse der Elementarmathematik. Das Ziel der Mengenlehre ist für die sechste Klasse deshalb vorgegeben: 1. Den aus Grundkenntnissen der Kinder stammenden Mengenbegriff verfeinern.“

Argumente gegen die ” neue Mathematik“ : ”’Bitte erzählen Sie uns, was eine Menge ist!‘ Das verlangte eine Gruppe von Lehrern von einem Universitätsmathematiker [...].“, vgl. [Freudenthal 1973], S.315. Das könnte Freudenthals Antwort auf das obige Zitat von Papy sein.^{6} Im Band 1 des von Freudenthal geschriebenen Buches erläutert er, warum der Begriff der

5Papy hat zudem die sog. Rot-Grün-Übereinkunft (vgl. [ebendort], S. 31) als Hilfsmittel der Visualisierung eingeführt. Mit ihrer Hilfe kann man z.B. offene und abgeschlossene Mengen darstellen. Zudem benutzt er Venn-Diagramme (vgl. [ebendort], S. 31).

6Erstaunt hat uns folgendes: Papy weist nicht nach, daß Kinder eine Mengenvorstellung haben, und wie diese aussieht. Bezgl. der oben zitierten Einleitung von Freudenthal bleibt offen, ob dieses Lehrer-Dozentengespräch tatsächlich stattgefunden hat, ob es die damalige Situation pointiert, wo und wann das Gespräch stattfand, etc..

Menge nicht vor dem der Zahl gelehrt werden kann. In [Freudenthal 1973], S.315 fragt er weiter: ” Kommen die Mengen nun wenigstens als zweites in Frage? Nein, ich glaube nicht. Das zweite sind die Funktionen - wie nachdrücklich brauchten wir sie ja schon beim Zahlbegriff.“

Eine axiomatische Einführung der Mengen hält Freudenthal für unmöglich, da jemand, der keine Kenntnisse der Mathematik hat, diese Axiome nicht verstehen könne. Was Schulbücher als Axiomatik anbieten, bezeichnet er als Scheinaxiomatik, vgl. [ebendort], S.316. Vielmehr verhalte es sich bei den Mengen wie bei den Zahlen, bei denen auch niemand sagen kann, was sie sind. (In Band 1 des bisher zitierten Buches widerlegt Freudenthal, daß die Mächtigkeit der Menge als Zahldefinition sinnvoll ist.) Diesbezüglich sind Zahlen und Mengen als ’gleichwertig‘ anzusehen. ” Gewaltsame explizite Definitionen gehören in eine veraltete Methodologie und Methodik.“, vgl. [ebendort], S.317. Weiterhin hält Freudentahl die üblichen Darstellungen von Mengen für irreführend und schwer verständlich.

So gilt z.B. {} = {}, selbst wenn die Grundmenge der ersten leeren Menge die natürlichen Zahlen, die der zweiten Menge aber die Menge der rationalen Zahlen ist. Zudem ist es zulässig, die Schnittmenge (oder Vereinigungsmenge) von zwei Mengen zu bilden, die verschiedene Grundmengen haben.

Weiterhin werden laut Freudenthal Venn-Diagramme und die Mengenschreibweise mit geschweiften Klammern oft synonym verwendet und gleichgesetzt (z.B. wenn endliche Mengen dargestellt werden). Da das erste jedoch ein Bild ist, und das zweite ein sprachlicher Ausdruck, ist dieses nicht zulässig. Darüberhinaus stellt sich die Frage nach der Bedeutung der verschiedenen Symbole (vgl. u.a. [Freudenthal 1973], S.329). So fragt Freudenthal z.B. nach der Bedeutung der geschlossenen Linie bei einem Venn-Diagramm, vgl. [ebendort], S.324-328.

Freudenthal kommt zu dem Schluß, daß Mengen nur dann sinnvoll einsetzbar sind, wenn sie selber operational verwendet werden, wenn sie z.B. eine Funktion ausdrücken.

Weiter möchten wir diese inzwischen abgeschlossene Diskussion nicht verfolgen. Nur soviel noch: Freudenthal kommt zu dem Ergebnis, daß die Begriffe offene Menge, Limes, Differentialquotient und Integral die zentralen Begriffe der Analysis sind, vgl. [Freudenthal 1973], S.470. Zwar führt er in dem genannten Buch die Folgen nicht explizit ein, dennoch verwendet er in seinen Argumentationen Cauchy-Folgen (vgl. [ebendort], S.518), und in einem Abschnitt über Konvergenz wird diese u.a. auch bzgl. Folgen betrachtet (vgl. [ebendort], S.508). Somit haben die Folgen wieder einen Platz in der Schulmathematik.

3.1.2 Auswahl und Begründung der Inhalte

Bei der Auswahl der präsentierten Inhalte haben wir uns an Mathematikbücher der Analysis orientiert ([Bock/Walsch 1993], [Kroll 1988], [Griesel/Postel 1992], [Lambacher / Schweizer 1990]). Den Themenkreisen Grenzwert, Monotonie, Beschränktheit und Monotonie-Beschränktheit-Konvergenzkriterium haben die besagten Bücher ungefähr gleich viel Gewicht zugemessen und ähnlich großen Umfang veranschlagt. Deutliche Unterschiede gab es bei der Behandlung der Partialsummen.

So räumen [Kroll 1988] und [Griesel/Postel 1992] nur Partialsummen von geometrischen Folgen Platz ein. Die Autoren von [Bock/Walsch 1993] dagegen wenden ein ganzes Kapitel für diese Thematik auf (vgl. [Bock/Walsch 1993], S.82-88). An unserer Datenbasis kann man erkennen, daß wir uns dem angeschlossen haben. Durch die Ausführung des Themas in der Datenbasis ist ja kein Lehrender verpflichtet, den Inhalt auch zu behandeln.

Im Weiteren werden die in der Datenbasis zum Thema Folgen ausgeführten Inhalte auf ihre didaktische Bedeutung untersucht. Die hier verwendete Reihenfolge der Inhalte entspricht der Reihenfolge in der Datenbasis, wenn man den ”roten Faden“ verfolgt.

3.1.2.1 Abschnitt 1: Einstieg

• Als Einstieg bietet die Datenbasis einige Aufgaben in denen Folgen benutzt werden, um Vorgänge der Realität zu beschreiben. Diese sind so gewählt, daß sie Schülererfahrungen sowohl aus der Primarstufe^{7}, als auch aus der Sek.I^{8} aufnehmen. Dadurch kann an den Wissensstand der Schülerinnen

7”Lotto“ -Folge: (�_{n}) = 5�; mögliche Aufgabenformulierung in der Primarstufe: Wie geht es weiter? 5, 10, 15, 20...

8In der 10. Klasse werden die Exponentialfunktionen behandelt. Die Folge (�_{n}) = 2^{n} nimmt diesen Inhalt auf. Auch die Folge, die durch das Heron’sche Verfahren erzeugt wird, sollte den Lernenden bekannt sein.

und Schüler angeknüpft werden. Die zum Einstieg gewählten Aufgaben werden in den ersten drei Abschnitten immer wieder auftauchen. Sie sind so gewählt, daß man an ihnen alle für diesen Unterrichtsvorschlag relevanten Phänomene aufzeigen kann.

• Um die Kommunikation über Folgen zu erleichtern, werden anhand der bereits bekannten Beispiele die folgenden Begriffe definiert: explizite und rekursive Vorschrift einer Folge, allgemeines Folgenglied, n-tes Glied einer Folge und Index eines Folgenglieds. Weiterhin wird die Folge als Spezialfall der Funktion charaterisiert. Dabei werden die natürlichen Zahlen als Definitionsmenge der Folgen besonders hervorgehoben. An dieser Stelle sollen noch nicht die Folgenklassen der arithmetischen und geometrischen Folgen angesprochen werden, um nicht zuviele Begriffe zugleich einzuführen. Vielmehr sollen in diesem Unterrichtsvorschlag alle Inhalte bis zum Monotonie-Beschränktheits-Konvergenzkriterium erarbeitet werden. Dann erst sollen die Folgenklassen definiert werden, um sie dann auf die verschiedenen, inzwischen bekannten, Eigenschaften (Monotonie, Beschränktkeit und Konvergenz) hin zu untersuchen.

• Als nächstes werden verschiedene Darstellungsformen für Folgen anhand von sieben z.T. schon bekannten Beispielen thematisiert. Jeder Folge werden hierzu zwei Bildschirmseiten zur Verfügung gestellt. Auf jeweils der ersten findet man die rekursive und explizite Zuordnungsvorschrift, sofern es eine gibt^{9}. Von jeder Folge werden die ersten fünf bis acht Folgenglieder in der aufzählenden Schreibweise aufgeführt. Von den Funktionen ist die tabellarische Darstellung bekannt. Sie bietet sich für Folgen wegen ihrer Definitionsmenge an. Eine weitere gängige Darstellung ist das Pfeildiagramm, in dem endlich viele Folgenglieder eingetragen werden können. Die jeweils zweite Seite visualisiert die Folge im Koordinatensystem, wobei die Punkte in zeitlichen Abständen nacheinander eingetragen werden. Bei jedem Eintrag wird ein Ton erzeugt. Je größer der Wert des gerade eingetragenen Folgengliedes ist, desto höher ist der erzeugte Ton. Diese

9Bei einer Zufallfolge z.B. kann man eine explitzite oder rekursive Zuordnungsvorschrift nicht angeben.

Darstellungen wurden von uns mit Hilfe von PASCAL-Programmen realisiert. Unter den Darstellungen befinden sich also die drei wichtigsten Darstellungsweisen, die von den Funktionen bekannt sind, die Tabelle, die Zuordnungsvorschrift und der Graph. An ihnen lassen sich gut der Veränderungsaspekt und der Zuweisungsaspekt, die in der Sek.I behandelt wurden, wiederholen und vertiefen. Besonders der Veränderungsaspekt von Exponentialfunktionen ist in der Klasse 10 untersucht worden. Schon dort hat man verglichen, wie stark sich Funktionswerte verändern, wenn man den x-Wert um einen bestimmten Wert verändert. Bei den Folgen bietet sich der Wert 1 als Veränderung des x-Wertes an. Da geometrische Folgen Spezialfälle der Exponentialfunktionen sind, ergibt sich eine gewisse zeitliche Nähe zu bekannten Inhalten. Der Zuweisungsaspekt thematisiert den Abbildungsvorgang für jedes einzelne Element der Definitionsmenge auf das zugehörige Element der Wertemenge. Er wird besonders durch den sukzessiven Aufbau des Graphen im PASCAL-Programm verdeutlicht. Auch die Pfeildiagramme wirken aufgrund der Pfeile geradezu aktiv bei ihrer Zuweisung des Index i auf den Wert a_{i}. Durch die Vielfalt der Darstellungsmöglichkeiten werden die Schülerinnen und Schüler implizit vor die Aufgabe gestellt, sich in verschiedenen Situationen die jeweils problemadäquate Darstellung herauszusuchen. Die Bewertung von Darstellungen wurde bereits in der Sek.I anhand von Funktionen geübt. Auf die Vorteile verschiedener Darstellungsebenen und die heuristische Kraft, die im Wechsel von einer zu einer anderen Darstellung liegt, weisen [Blum/Törner 1983], S.231 hin.

Durch die akustische Begleitung des Aufbaus des Graphen soll neben dem visuellen ein weiterer Wahrnehmungssinn der Lernenden angesprochen werden. Besonders bei der Beschreibung des Phänomens der strengen Monotonie kann eine entsprechend streng monoton steigende Tonfolge das Phänomen verdeutlichen. Aber auch Beschränktheit kann man akustisch demonstrieren, wenn bestimmte Tonhöhen nicht über- oder unterschritten werden. Anders präsentiert sich die Konvergenz akustisch: der Ton scheint irgendwann bzgl. der Tonhöhe stehenzubleiben. Dies kann natürlich nur das Phänomen der Konvergenz aufzeigen, da hier nur der Effekt des Stehenbleibens der Zahl in einer Taschenrechneranzeige vertont wird, vgl. 3.1.2.2. Um den Schülerinnen und Schülern die akustische Darstellung nutzbar zu machen, müssen sie Analogien und Unterschiede der Darstellungen erkennen können. Daher wird sie zusammen mit den anderen eingeführt.

3.1.2.2 Abschnitt 2: Grenzwerte

Der zweite Abschnitt der Datenbasis über die Folgen beschäftigt sich mit dem Grenzwert von Folgen und den Grenzwertsätzen.

• Phänomenologisch werden die Lernenden durch drei Beispiele an den Begriff des Grenzwerts herangeführt. Dabei wird ein anschaulicher Grenzwertbegriff geprägt. Die Beispiele behandeln z.T. Modelle realer Situationen. Grenzwerte, die aufgrund verschiedener Darstellungen vermutet werden, werden vom Modell in die Realität rückinterpretiert, um zu prüfen, ob sie sachlogisch einen Sinn ergeben^{10}. Prozesse, bei denen ” x groß wird“, haben die Schülerinnen und Schülern bereits in der Sek.I kennengelernt, als Asymptoten einfacher Funktionen gesucht wurden. Dabei konnte auch der Fall auftreten, daß eine Asymptote parallel zur x-Achse verlief. Diesem Fall entspricht die Konvergenz einer Folge. Daher kann man bekanntes Wissen aufnehmen und hier bzgl. der Folgen erweitern. Hier findet integrierendes Wiederholen statt, vgl [Blum/Törner 1983], S. 239.

• Da elektronische Rechenhilfen immer stärker in den Unterricht einbezogen werden, soll dem Taschenrechnereinsatz besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden. W.Blum und G.Törner schreiben dazu [Blum/Törner 1983], S.70-71: ”Die mit dem Taschenrechner durchgeführten Grenzwertberechnungen fördern ein intuitives Grenzwertverständnis, zumal das Objekt Folge bzw. der Begriff der Konvergenz enaktiv oder ikonisch repräsentiert werden. Daß das dabei erzielte Ergebnis u.U. durch Rundungsfehler beeinträchtigt und

10Z.B. wird bei einer Folge, die den Zerfall radioaktiver Stoffe behandelt, der Grenzwert 0 vermutet, der auch sachlogisch einen Sinn ergibt.

selbst nur ein Näherungswert ist, ist sekundär. Dabei zeigen sich die Grenzen des Taschenrechnereinsatzes: Konvergenz oder Divergenz von Folgen lassen sich letztlich nur \underline{theoretisch} entscheiden.“ ^{11} Mit Hilfe der Folge (a_{n}) = (−\frac{n+1}{n}) kann den Schülerinnen und Schülern leicht gezeigt werden, daß von Taschenrechnern und Computern für sehr große n die Ausgabe -1 erzeugt wird. Man kann aber leicht sehen, daß der Wert -1 für kein n angenommen wird. Daraus sollen die Lernenden nach [Bock/Walsch 1993], S.70 erkennen können, daß Taschenrechner- oder Computerkonvergenz nicht aussagekräftig ist. Allenfalls kann man mit ihrer Hilfe einen Grenzwert vermuten, der dann noch nachzuweisen ist. Man also bis jetzt nur feststellen, daß elektronische Rechner aufgrund ihrer endlichen Speichergröße nicht mit großen Zahlen umgehen können, wie man auch in jeder Numerik-Vorlesung lernen kann. Dementsprechend können sie auch nicht mit kleinen Zahlen umgehen. Wenn man jetzt eine Grenzwertdefinition auf der Basis von ϵ-Umgebungen zugrundelegt, bei der sehr kleine Beträge berechnet werden müssen, kann man die Aussage treffen, daß Computer nicht durch fortlaufendes Berechnen von Folgengliedern einen Grenzwert ermitteln können. W.Blum und G.Törner bieten als ”taschenrechnerkonvergente“ Folge (a_{n}) = (∑_{n=1}^{∞}\frac{1}{n}) an. Als konvergente, aber auf dem Taschenrechner ” flatternde“ geben sie a_{n+1} = cos(a_{n}) bei beliebigem Startwert vor (vgl. [Blum/Törner 1983], S.72). Aus der Erkenntnis, daß es solche Folgen gibt, kann bei den Schülerinnen und Schülern das Bedürfnis nach einem Grenzwert-Nachweisverfahren entstehen.

• In der Datenbasis wird die folgende Grenzwertdefinition angeboten: Eine Zahl g heißt Grenzwert der Folge (a_{n}), wenn für jedes ϵ > 0 fast alle Zahlenfolgenglieder a_{n} in der ϵ-Umgebung von g liegen. Daher wird vorher der Begriff ϵ-Umgebung und eine Definition der Nähe zum Grenzwert, bereitgestellt. Die Nähe wird mit Hilfe der Betragsfunktion analytisch beschrieben.

11Unterstreichung wie im Original

Eine Anhäufung von Quantoren bei der Definition des Grenzwerts, die die Schülerinnen und Schüler oft wegen des geballten Auftretens von Symbolen abschreckt, wurde durch die Sprechweise ” fast alle“ vermieden^{12}. Im [Bock/Walsch 1993], S.72 wird ebenfalls diese Sprechweise verwendet. Die Autoren von (Literaturangabe!!) haben sich aus gleichem Grund für die Sprechweise ”In jeder noch so kleinen ϵ-Umgebung müssen unendlich viele Folgenglieder liegen, außerhalb dürfen nur endlich viele liegen.“ entschieden.

• Der Konventionscharakter der Mathematik kann thematisiert werden, wenn der Satz der Eindeutigkeit des Grenzwertes bewiesen wird. Es hat sich nämlich historisch so entwickelt, daß man zwischen Häufungspunkten und Grenzwerten unterscheidet. Dies läßt sich nicht irgendwie herleiten. Für den Nachweis des Satzes muß ein Widerspruchsbeweis geführt werden. Widerspruchsbeweise erzeugen oft Verwirrung bei den Lernenden. Der Beweis zum Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes ist aber wichtig, weil durch ihn eine deutliche Abgrenzung des Begriffs nach Außen erreicht wird^{13}, so daß eine Vertiefung des Verständnisses von Grenzwerten zu erwarten ist. Dem Beweis schließt sich eine Musteraufgabe an, die verdeutlicht, wie man mit Hilfe der Grenzwertdefinition einen Grenzwert nachweist. Somit sind die Schülerinnen und Schüler in der Lage, mit dem neuen Begriff enaktiv umzugehen.

• Als besondere Klasse der konvergenten Folgen werden nun die Nullfolgen vorgestellt. Sie werden später für die Anwendung der Grenzwertsätze benötigt. Dort formt man oft ’komplizierte‘ ganz- oder gebrochenrationale Folgen so um, daß einzelne Summanden in Zähler und Nenner zu Nullfolgen werden. Es lohnt sich für die spätere Anwendung der Grenzwertsätze, eine Sammlung von Nullfolgen und auch anderen konvergenten Folgen mit ihren Grenzwerten anzulegen, damit später nicht jeder Grenzwert neu bewiesen werden muß. Eine weitere notwendige Vorbereitung für die Grenzwertsätze muß getroffen werden, die Verknüpfung von Folgen. Diese Thematik wird zudem explizit in [Richtlinien Mathematik Sek II] gefordert. Besonders sind die Schüle-

12W.Blum und G.Törner befürworten in ihrem Buch dieses Vorgehen, vgl. [Blum/Törner 1983 ], S.74-76. 13Vor allem die Abgrenzung zu ähnlichen Phänomenen wie Häufungspunkten ist wichtig.

rinnen und Schüler bei der Quotientenfolge darauf hinzuweisen, daß alle Folgenglieder der Nennerfolge nicht den Wert 0 annehmen dürfen.

• Durch die Grenzwertsätze vergrößert sich die Menge der bzgl. Grenzwert beherrschbaren Folgen. Eine Hinführung auf die Grenzwertsätze läßt sich wie folgt erreichen: Man lasse die Schülerinnen und Schüler die Grenzwerte der Folgen (a_{n}) = (4 − \frac{1}{n^{2}} ) und (b_{n}) = (\frac{1}{n} + 2) (oder anderer geeigneter Folgen) bestimmen. Dann sollen sie die Summen-, Differenz-, Produktund Quotientenfolge bilden und die Grenzwerte dieser vermuten. Dadurch wird ein Prozeß selbstentdeckenden Lernens initiiert.

• Ein offenes Problem bleibt bestehen: bis jetzt ist es den Schülerinnen und Schülern nur möglich, einen vermuteten Grenzwert nachzuweisen. Allerdings gibt es Folgen, deren Grenzwerte sich nur schwer vermuten lassen, besonders, wenn diese irrational sind. Ein Grenzwert, der sich nur schwer vermuten läßt, ist der Grenzwert der Folge (b_{n}) = ((1+ \frac{1}{n})^{n}), die irrationale Zahl e (Euler’sche Zahl). Ein weiterer solcher Grenzwert ist der der Folge (a_{n}) = ( ^{n} \sqrt{n}). Dieses Problem kann man nutzen, um die Lernenden von der Notwendigkeit eines Konvergenzkriteriums zu überzeugen.

3.1.2.3 Abschnitt 3: Konvergenzkriterium

Im dritten Abschnitt der Datenbasis über Folgen werden die Begriffe Monotonie und Beschränktheit und der Satz über das Monotonie-Beschränktheit-Konvergenz-kriterium behandelt.

Den Anfang bildet die Monotonie, gefolgt von der Beschränktheit. Genauso gut hätte man diese beiden Inhalte vertauschen können, da beide unabhängig voneinander sind und Hilfsmittel für das oben genannte Konvergenzkriterium darstellen. Das Curriculum des Landes NRW (Literatur!) schreibt die Behandlung der beiden Themen im Rahmen der Betrachtung von Eigenschaften von Funktionen vor. Dort sind die Begriff auch in unserer Datenbasis bereits eingeführt worden. Daher werden die Kenntnisse über diese Inhalte durch ihre Betrachtung an Folgen gefestigt und vertieft.

• Vier Beispielfolgen für das Phänomen der Monotonie werden in der Datenbasis angeboten. Das Fernziel, ein Konvergenzkriterium, soll nicht aus den Augen verloren werden. Daher sind zwei der Beispielfolgen konvergent, die anderen beiden divergent, so daß zum Abschluß des Themas Monotonie festgehalten werden kann, daß Monotonie als Konvergenzkriterium nicht ausreicht. An dieser Stelle soll das Kontrastprinzip bzw. das Variationsprinzip (vgl. [Blum/Törner 1983], S. 240) die Schülerinnen und Schüler bei ihren Lernprozessen unterstützen: die vier Beispielfolgen sind monoton, aber nicht alle sind konvergent. Somit wird die wesentliche Aussage des Begriffes in den Beispielen konstant vertreten. Variieren dagegen tut die Eigenschaft Konvergenz. Eine der konvergenten und eine der divergenten Beispielfolgen können auch im Koordiantensystem optisch und akustisch wahrgenommen werden. Bei einer streng monoton steigenden Folge sind die Töne zu den Folgengliedern so gewählt, daß die Tonhöhe streng monoton steigt. Dadurch wird die, von den Funktionen bekannte Grundvorstellung von ” immer größer werden“, ”immer höher werden“ durch die Wahrnehmung mit einem weiteren, in der Mathematik sonst selten angesprochenen Sinnesorgan unterstützt.

• Der Datenbasis kann man zwei Definitionen für Monotonie entnehmen: Die Folge (a_{n}) heißt monoton steigend, 1) wenn gilt: a_{1} ≤ a_{2} ≤ a_{3} ≤ ... ≤ a_{n} ≤ a_{n+1} ≤ ... oder 2) wenn für alle n und m aus den natürlichen Zahlen mit m < n gilt: a_{m} ≤ a_{n}. Die erste Definition beschreibt genau die Grundvorstellung, daß die Werte der Folgenglieder von einem zum nächsten Folgenglied größer werden (oder bei nichtstrenger Monotonie gleich bleiben). Von der ersten Definition sollte man aber den Schritt zur zweiten vollziehen, da diese die Handlungsanweisung zum analytischen Nachweis von Monotonie wesentlich besser zum Ausdruck bringt. Aufgrund der ersten Definition könnten Lernende versucht sein, endlich viele Folgengliednachbarn zu betrachten. Gute Schüler und Schülerinnen kämen vielleicht auf die Idee, eine Art Induktion anzuschließen. Diesen Umweg kann man ihnen ersparen, wenn man auch die zweite Definition einführt.

• In der Datenbasis wird nur die Definition für ” monoton steigend“ gegeben. Es wird den Lehrenden selber überlassen, ob sie ” monoton fallend“ als Definition aufnehmen möchten, oder zur Vertiefung des Verständnisses von Monotonie die Schülerinnen und Schüler die Definition für ”monoton fallend“ selber erarbeiten lassen wollen. Exemplarisch wird ein analytischer Nachweis von Monotonie an einer Beispielfolge in der Datenbasis durchgeführt, damit den Lernenden die Möglichkeit gegeben wird, handlungsorientiert mit der Monotonie umzugehen.

• Zum Abschluß des Inhalts Monotonie wird in der Datenbasis der Vorschlag gemacht, die Schülerinnen und Schüler Gemeinsamkeiten und Unterschiede der vier Einstiegsfolgen zu ermitteln. Dadurch können sie selber entdecken, daß die Monotonie als Konvergenzkriterium nicht ausreicht.

• An dieser Stelle kann man einen Exkurs zur Intervallschachtelung einfügen. Er gehört nicht zum ’roten Faden‘ bietet sich jedoch an, da die Folgen, die durch die Werte der linken und rechten Intervallgrenzen der Intervallschachtelung definiert sind, monoton sind. Dadurch wird eine innermathematische Bedeutung von Monotonie aufgezeigt. Zudem wird die Intervallschachtellung für den Beweis des angestreben Konvergenzkriteriums benötigt, wobei dieser Beweis vielleicht nicht in jedem Kurs durchgeführt werden muß. Natürlich sind die Folgen der Werte der Intervallgrenzen einer Intervallschachtelung auch beschränkt und konvergent, so das man diesen Exkurs auch an späterer Stelle abhalten kann.

• Für den Einstieg in das Thema Beschränktheit werden wieder einige Folgen angeboten: drei nach oben und unten beschränkte (eine davon ist monoton, die andere konstant, die dritte alternierend), zwei einseitig beschränkte (eine nach oben, eine nach unten beschränkt) und zwei unbeschränkte (beide alternierend). Wie bei der Monotonie kann man an den Folgen erkennen, daß Beschränktheit als Konvergenzkriterium nicht ausreicht^{14}.

• Analog zur Monotonie präsentiert die Datenbasis die Definition von ”nach oben beschränkt“ und die Aufgabe für die Schülerinnen und Schüler, ”nach unten beschränkt“ selber zu definieren, wodurch das Verständnis von Beschränktheit vertieft wird.

14Anwendung des Variations- und Kontrastprinzips, vgl. Monotonie

• Betrachtet man den Knoten ”Hinführung zum Konvergenzkriterium“ in der Datenbasis, so findet man dort eine Hinführung, die sich wieder des Kontrastprinzips bedient: Es werden zwei Gruppen von Folgen angeboten, von denen die aus der ersten monoton und beschränkt, also konvergent sind, die Folgen aus der zweiten Gruppe entweder monoton, oder beschränkt oder nichts von beidem, also divergent sind. Der Liste von Folgen schließt sich die Aufforderung an die Schülerinnen und Schüler an, eine Vermutung über einen Zusammenhang von Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit aufzustellen. Damit soll wieder selbsentdeckendes Lernen initiiert werden. Den Höhepunkt dieses dritten Abschnitts der Datenbasis über Folgen bildet der Satz über das hergeleitete Konvergenzkriterium.

• Die Schülerinnen und Schüler können den Themenbereich Konvergenzkriterium selbstständig abrunden, indem sie den Nachweis erbringen, daß sich der Satz nicht umkehren läßt. Als Hilfestellung kann man ihnen anbieten, konvergente Folgen zu finden, die nicht zugleich monoton und beschränkt sind. Eines der offenen Probleme können die Lernenden nun beweisen: die Folge (a_{n}) = ((1 + \frac{1}{n} )^{n}) ist konvergent. In der Datenbasis über Folgen wird an dieser Stelle ein Exkurs angeboten, der nicht zum ” roten Faden“ gehört. Er kleidet die Entwicklung des Grenzwertprozesses der Folge (a_{n}) in eine Aufgabe aus der Zinsrechnung (stetige Verzinsung) ein.

3.1.2.4 Abschnitt 4: Partialsummen

Der vierte Abschnitt der Datenbasis über Folgen hat zwei Schwerpunkte. Zum einen soll er in die Schar von Folgen etwas Ordnung bringen, zum anderen Partialsummen und deren Summenformeln thematisieren.

• Um etwas Ordnung in die Schaar von Folgen zu bekommen, werden in diesem Abschnitt die Klassen der arithmentischen und der geometrischen Folgen besprochen werden. Dazu werden zu jeder Klasse drei Beispielfolgen mit den Aufträgen angegeben, Regelmäßigkeiten in dem Aufbau der Folgen innerhalb der jeweiligen Klasse zu finden, weitere Beispiele für Folgen mit diesen Eigenschaften zu finden und für jede der Folgenklassen die allgemeinen Vorschriften (explizit und rekursiv) anzugeben. Im Hintergrund steht wieder das Variationsprinzip: die Regelmäßigkeiten bleiben konstant, die Folgen, die diese Regelmäßigkeiten in sich tragen, variieren. In der Definition der arithmetischen und geometrischen Folge werden den gefundenen Klassen Namen gegeben.

• Damit die Einteilung in die beiden Folgenklassen überhaupt einen Sinn macht, werden nun die Monotonie-, Beschränktheits- und Konvergenzeigenschaften der Klassen beleuchtet. Auch eine innermathematische Einordnung folgt, indem arithmetische Folgen mit linearen Funktionen und geometrische Folgen mit Exponentialfunktionen in Zusammenhang gebracht werden. Die Durchführung dieser Einordnung würden W.Blum und G.Törner nach dem Integrationsprinzip unterstützen (vgl. [Blum/Törner 1983], S. 239). Auch die Namensgebung wird innermathematisch begründet und auf das arithmetische bzw. das geometrische Mittel von je zwei benachbarten Folgengliedern zurückgeführt. Außerdem werden die alternierenden Folgen als Sonderfall der geometrischen Folgen eingeordnet.

• Mit Hilfe einer Aufgabe über eine Telephonlawine^{15} wird der Nutzen von Partialsummen motiviert. Der Begriff der Parialsumme als Summe von Folgengliedern wird definiert, ebenso wie die Folge von Partialsummen. Einfach läßt sich die rekursive Vorschrift einer Partialsummenfolge angeben.

• Diese Stelle eignet sich zum Einführen des Summenzeichens ∑. Dieses Zeichen ist für die Schülerinnen und Schüler nicht ganz einfach zu beherrschen, obwohl die Bedeutung dieses Symbols durch die Variablen (Laufindex und Grenze) eindeutig ist. Aber gerade die Anhäufung der beiden Variablen und des Summenzeichens können Verwirrung stiften. Dafür erspart diese abkürzende Schreibweise so viel Schreibarbeit, daß auch den Lernenden der Nutzen der Schreibweise zugänglich wird. Viellicht soll-

15Jemand ruft drei Leute an, diese sollen innerhalb einer Stunde jeweis wieder drei weitere anrufen, u.s.w.. Wieviele Leute wurden nach n Stunden angerufen?

te man im Unterricht die aufzählende ” Pünktchenschreibweise“ und das Summenzeichen eine Zeit lang parallel verwenden. Die Schulbücher geben keine einheitliche Antwort auf die Frage, ob das Symbol ∑eingeführt werden sollte oder nicht. Das Curriculum jedoch verlangt die Einführung der Schreibweise (vgl. [Richtlinien Mathematik Sek II], S.36).

• Die Schülerinnen und Schüler werden schon bei der Aufgabe mit der Telephonlawine bemerkt haben, wie mühsam es ist, das 10. oder 20. Partialsummenfolgenglied zu berechnen. Daher läßt sich eine Suche nach einer expliziten Vorschrift für die Partialsummenfolge motivieren. An dieser Stelle läßt sich eine allgemeinere Problemlösestrategie anwenden: Stelle eine Vermutung auf (induktives Vorgehen) und beweise, daß sie richtig oder falsch ist (deduktives Vorgehen). Eine schöne Aufgabe zur Illustrierung dieses Vorgehens findet man in der Datenbasis für Folgen, im Knoten ”Finden und Nachweisen einer Summenformel“, das wir hier anführen möchten:

Aufgabe 1:

a) Berechnen Sie für die Folge der ungeraden Zahlen (a_{k}) = (2k − 1) die Partialsummen s_{1} bis s_{5}. Stellen Sie eine Vermutung über die k-te Partialsumme (s_{k}) auf.

b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Aufgabenteil a) und der nebenstehenden Abbildung?

{�� \atop ��}

Abbildung 3.1: Beispielaufgabe

In Aufgabenteil a) wird induktiv eine Vermutung aufgestellt. Dem Aufgabenteil b) kann man entnehmen, daß die nebenstehende Abbildung die (richtige) Vermutung beweist^{16}, zumindest aber untermauert. Mit Hilfe der vollständigen Induktion läßt sich hier eine Vermutung deduktiv nachweisen oder falsifizieren.

• Als nächstes soll das Gaußverfahren besprochen werden. Es bietet sich zum Aufstellen von Vermutungen über explizite Vorschriften von Partialsummenfolgen arithmetischer Folgen und zum Nachweisen derselben an. Beispielhaft wird es mit der Folge (a_{n}) = (n) verdeutlicht:

s_{100} = 1 + 2 +  3 + ... + 98 + 99 + 100
s_{100} = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
2· s_{100} = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101

Sofort kann man erkennen, daß hier für die Verdeutlichung der Beweisstrategie die ”Pünktchenschreibweise“ der Summen notwendig ist, daß man einen Wechsel der Darstellungsebene vorgenommen hat. Die methodische Kraft der Idee des Gaußverfahrens wird den Schülerinnen und Schülern deutlich, wenn sie es auf weitere arithmetische Folgen und schließlich auf die allgemeine arithmetische Folge anwenden.

• Auch für die geometrische Folge gibt es ein dem Gaußverfahren ähnliches Verfahren, welches von den Lernenden selber ermittelt werden soll. Dann kann auch endlich die Partialsummenfolge der Folge der Telephonlawinen-Aufgabe ermittelt werden. Als Hilfe kann man den Schülerinnen und Schülern den folgenden Ansatzes geben:

\begin{aligned}s_{n} & = & ... \\ s_{n} · q & = & ... \\ s_{n} − s_{n} · q & = & ... \end{aligned}

• Abgerundet wird dieser Abschnitt durch Überlegungen über die Konvergenz von Partialsummen. Die Aussagen für Partialsummenfolgen arithmetischer Folgen werden den Lernenden für d := a_{n+1} − a_{n} mit d = 0 und mit d ≠ 0 nicht schwerfallen. Etwas mehr Mühe muß man in die Aussagen für die Partialsummenfolgen geometrischer Folgen stecken. Aber auch diese können von ihnen selber bewiesen werden.

16Zu diskutieren bleibt, ob man die Abbildung als ”graphischen Beweis“ akzeptieren kann, oder nicht.

3.1.2.5 Abschnitt 5: Übungen

Der letzte Abschnitt soll kurz darüber informieren, woher wir die von uns angebotenen Übungen bezogen haben. Sie stammen alle aus [Bock/Walsch 1993]. Dieses Buch hat die interessante Idee verwirklicht, die Inhalte von Unterrichtsreihen ohne eine Unterbrechung durch Übungen zu präsentieren. Die Übungen befinden sich komplett am Ende der jeweiligen Unterrichtsreihe. Bei der Präsentation der Inhalte in [Bock/Walsch 1993] wird mittels kurzer Verweise auf die zugehörigen Übungen aufmerksam gemacht.

Diese Hinweise haben wir uns zunutze gemacht, um die realisierten Links zwischen Inhalt und Übung zu finden.

Aber auch in den Knoten, die die Inhalte präsentieren, finden sich Aufgaben. Diese erfüllen immer mind. einer der beiden Aufgaben: a) Sie sollen das selbstentdeckende Lernen der Lernenden unterstützen, indem sie Merkmale und Eigenschaften des zu erarbeitenden Begriffes hervorheben. b) Sie sollen Eigenschaften und Tragweite von eingeführten Begriffen aufzeigen.

In beiden Fällen unterstützen die Aufgaben die Lehrerin und den Lehrer bei der Vorbereitung des Unterrichts.

3.2 Die Präsentation des Themas ”Folgen“ in HYTEX

3.2.1 Die Netzstruktur

Innerhalb der Datenbasis fügt sich das Thema Folgen natürlich in die Menuestruktur ein. Wählt man aus dem Menue des Deckblattes die Folgen aus, gelangt man zum Folgenmenue. Dort kann man einen der vier inhaltlichen Abschnitte, die auch in 3.1.2 besprochen wurden oder die Übungen anwählen. Zu jedem inhaltlichen Abschnitt und auch zu den Übungen gibt es ein letztes Menue, was es einem ermöglicht, schnell zu einem bestimmten Inhalt des Abschnitts zu gelangen.

{������ \atop ������}

Abbildung 3.2: Die Folgenmenuestruktur

Die Inhalte der Datenbasis können unter Nutzung des “roten Fadens” in einer Sequenz erarbeitet werden. Die Reihenfolge der Inhalte des “roten Fadens” wird durch die vier Abschnitte aus 3.1.2 angegeben. Diese Reihenfolge ist innermathematisch begründet. Veränderungen in der Reihenfolge bis auf die Vertauschung der Behandlung der Begriffe Monotonie und Beschränktheit würden den inhaltlichen Aufbau zerstören.

Allerdings gibt es einige inhaltliche Knoten (also keine Übungs-Knoten) in der Datenbasis, die nicht vom “roten Faden” durchlaufen werden. Das sind die Knoten der Inhalte: ϵ-Umgebung, die Euler’sche Zahl e, Intervallschachtelung und die ∑-Schreibweise.

Die Thematisierung der Euler’schen Zahl und der Exkurs zu Intervallschachtelung sind grundsätzlich nicht für diesen Unterrichtsvorschlag notwendig. Sie zeigen dafür interessante innermathematische Zusammenhänge auf.

Für unsere Definition von Konvergenz benötigen wir den Begriff der ϵ-Umge-bung. Da es aber weitere tragfähige Grenzwertdefinitionen gibt, die ohne die ϵ-Umgebung auskommen, oder der Begriff bereits bekannt sein kann, wurde dieser Knoten aus dem “roten Faden” herausgenommen. Wie schon in 3.1.2 gesagt, wird die ∑-Schreibweise von [Richtlinien Mathematik Sek II] gefordert. Dennoch wird sie nicht in jedem Schulbuch eingeführt. Da man grundsätzlich in diesem Thema auch ohne sie auskommen kann, wurde sie nicht in den “roten Faden” eingebunden.

Innerhalb der Datenbasis über Folgen gibt es neben den Links des “roten Fadens” auch einige Hyperlinks. So werden einige von den Knoten, die von PASCAL-Programmen repräsentiert werden, von verschiedenen Stellen aus aufgerufen. Die Inhalte der Folgen bauen aufeinander auf. Daher ist es im hinteren Teil (bzgl. des “roten Fadens”) öfter möglich, durch einen Hyperlink zu einem Inhalt zu gelangen, auf den der aktuelle Inhalt aufbaut. So wird man z.B. am Ende des Inhalts Monotonie darauf hingewiesen, daß Monotonie als Konvergenzaussage nicht ausreicht. Da dies mit Hilfe der Monotonie-Einstiegsbeispiele verdeutlicht wird, kann man von diesem Knoten aus zu den Beispielen zurückspringen.

Wichtiger aber sind die Hyperlinks, die die Datenbasis der Folgen mit der der Funktionen verbindet. Hier bieten sich verschiedene sinnvolle Hyperlinks an, da es Begriffe wie Monotonie und Beschränktheit gibt, die sowohl bei den Folgen, als auch bei den Funktionen eine Rolle spielen. Um einen Begriff vollständig zu begreifen, muß man natürlich alle seine Facetten kennen. Dies wird hier durch Hyperlinks unterstützt.

3.2.2 Exemplarische Betrachtung von zwei Knoten

In diesem Abschnitt soll anhand von zwei Knoten die Umsetzung einiger Vorstellungen, die wir bei der Erstellung der Datenbasis im Hinterkopf hatten, und die in den Kapiteln 1 und 2 beschrieben werden, verdeutlicht werden.

Zunächst soll der Knoten “Anwendung der Grenzwertsätze” aus dem Kapitel “Folgen”, Abschnitt “Der Grenzwertbegriff” betrachtet werden, vgl. Abbildung 3.3.

Die Haupfunktion der Datenbasis ist die Unterstützung der Lehrerin oder des Lehrers bei der Vorbereitung von Unterricht. Diese Funktion erfüllt dieser Knoten, indem er eine konkrete Aufgabe mit Lösung für den Unterricht vorschlägt. Zudem führt die Aufgabe den Unterricht in sofern fort, als daß sie zeigt, wie man die vorangegangenen Grenzwertsätze anwenden kann. In dem mit dem !-Zeichen versehenen Textabschnitt wird der Lehrende zudem auf ein mögliches Problem aufmerksam gemacht^{17}.

17Für ein verständiges Handeln mit Grenzwerten (lim_{n→∞}) auf der symbolischen Ebene müssen die Lernenden die Bedeutung des Symbols vollständig verstanden haben.(vgl. [Blum/Törner 1983 ])

Kapitel: Folgen Abschnitt: Grenzwertbegriff

Anwendung der Grenzwertsätze

L Auf der Seite Verknüpfung von Folgen haben wir den Vorschlag gemacht, die Schülerinnen und Schüler ganzrationale ”komplizierte Folgen” in einfache Folgen mit bekanntem Grenzwert einzuteilen. Da dies vielleicht nur in einigen Kursen geklappt hat, sollte man an dieser Stelle eine Musteraufgabe gemeinsam mit der Klasse lösen:

! Zuvor kann man mit den Schülerinnen und Schülern kurz erörtern, wie sich die GW-Sätze auf die lim-Schreibweise auswirken, daß also durch Termunformung aus einem lim-Zeichen vor einem Term mehrere innerhalb des Terms werden können (vgl. *).

Aufgabe: (a_{n}) = (\frac{n^{2}+1}{n−2n^{2}} ) soll auf Konvergenz untersucht und der Grenzwert bestimmt werden.

Lösung: 1. Schritt: Umformen des allgemeinen Gliedes:

\frac{n^{2}+1}{n−2n^{2}} = \frac{n^{2}(1+ \frac{1}{n^{2}} )}{n^{2}( \frac{1}{n} −2)} = \frac{1+ \frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n} −2} 2.Schritt: Anwenden der Grenzwertsätze: Da lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0 und lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} = 0 gilt, kann man mit den Grenzwertsätzen wie folgt rechnen:

*  lim_{n→∞} (\frac{1+ \frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n} −2} ) = \begin{matrix}lim_{n→∞} & (1+ \frac{1}{n^{2}} ) \\ lim_{n→∞} & ( \frac{1}{n} −2) \end{matrix} = \frac{lim_{n→∞} 1+ lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}}}{lim_{n→∞} \frac{1}{n} − lim_{n→∞} 2} = \frac{1+0}{0−2} = −\frac{1}{2} Ergebnis: (a_{n})

ist konvergent mit dem Grenzwert −\frac{1}{2}.

Für Leistungskurse kann sich hier noch eine weitere Problemstellung lohnen.

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Abbildung 3.3: Der Knoten: Der Grenzwertbegriff

Auch die sinnvolle Vernetzung des Knotens ist gewährleistet: Zunächst schließt der Inhalt direkt an die Grenzwertsätze an. Diese bilden den zweiten Höhenpunkt in der Unterrichtsreihe über Folgen^{18}.

Der Knoten enthält einen Hyperlink zu dem Knoten, der die Verknüpfung von Folgen behandelt. Dieser Link soll den Lehrenden daran erinnern, den Lernenden bei Bedarf klar zu machen, daß bei der Anwendung der Grenzwertsätze im ersten Arbeitsschritt nichts anderes als die Umkehrung der Handlung des Verknüpfens getan wird: um die Grenzwertsätze anwenden zu können, muß die gegebene Folge in Elementarfolgen mit bekanntem Grenzwert zerlegen, beim Verknüpfen setzte man Elementarfolgen zusammen.

Weiterhin enthält dieser Knoten einen Link zu einem anderen Knoten, der nicht vom “roten Faden” durchlaufen wird. In dem anderen Knoten wird das Problem besprochen, daß Schülerinnen und Schüler auf die Idee kommen könnten, eine Folge, die durch einen Bruchterm gegeben ist, so umzuformen, daß bei der Grenzwertbetrachtung sowohl Zähler als auch Nenner gegen Unendlich oder gegen Null streben.

Neben dieser innermathematischen Vernetzung gibt es aber auch eine sachlogische Verbindung nach außen. Folgen beschreiben oft Prozesse in der Realität. Geben die Indizes der Folge Zeiteinheiten an, so kann man mit Hilfe von Grenzwertbetrachtungen Aussagen über den Prozeß auf lange Sicht treffen. Vermutet man bzgl. des Prozesses einen Grenzwert, so kann man diesen nun mathematisch nachweisen oder widerlegen^{19}.

Abschließend soll auf einige der Layout-Aspekte aufmerksam gemacht werden, die in 2.2.2 besprochen wurden. Natürlich enthält der Knoten die Kopfzeile, die über das Kapitel und den Abschnitt, denen der Knoten zugehört, informiert. Darunter befindet sich der Titel des Knotens. Durch das “L” soll der nebenstehende Text als Lehrerinformation gekennzeichnet werden. Diese Information kann auf Wunsch aufgrund der Kennzeichnung schnell überschlagen werden. Gleiches gilt für die Aufgabe mit Lösung, die sich durch eine beidseitige Einrückung hervorhebt. Abgeschlossen wird der Knoten von der Standard-Knopfzeile, die auch den “roten Faden” in und gegen die Leserichtung fortführt.

18Der erste Höhepunkt war der Begriff des Grenzwerts selber. 19Allerdings muß man Verfälschungen aufgrund der Modellbildung berücksichtigen.

Beim zweiten Knoten (vgl. Abbildung 3.4), der nun betrachtet werden soll, soll nicht mehr auf die Layout-Fragen eingegangen werden, da weitere Betrachtungen nicht zu neuen Erkenntnissen führen würden.

Interessant ist dieser Knoten in sofern, als daß er deutlich zeigt, wie Lehrende aufgefordert werden, die inner- und außermathematischen Bezüge der zuletzt behandelten Inhalte zu Thematisieren. Der Knoten bildet den Abschluß der Unterrichtseinheit zu Grenzwerten von Folgen und kann diesbezüglich als Abschluß betrachtet werden. Der mit dem ” S“ bezeichnete Text eignet sich als Tafelanschrieb, der zugleich das Ziel der nächsten Unterrichtseinheit aufzeigt. Daher kann der Knoten auch als Beginn der neuen Einheit angesehen werden.

Kapitel: Folgen Abschnitt: Grenzwertbegriff

Resümee

L An dieser Stelle kann man wieder einmal kurz innehalten und die Schülerinnen und Schüler zusammenfassen lassen, welche Ziele man seit dem letzten Resümeeerreicht hat und was noch aussteht.

S Resümee: Aufgrund der Kenntnis von einfachen Grenzwerten und den Grenzwertsätzen sind wir nun in der Lage, auch Grenzwerte komplizierterer (ganzrationaler) Folgen zu bestimmen. Kennt man den Grenzwert, so kann man eine Konvergenzaussage treffen. Gelingt es einem nicht, durch geschicktes Umformen und Anwenden der Grenzwertsätze einen Grenzwert einer Folge zu finden, so kann man nach wie vor keine Konvergenzaussage treffen. Ausblick: Das nächste Ziel muß also sein, zu versuchen, ein Konvergenzkriterium zu finden.

An dieser Stelle kann auch ein kleiner Exkurs gemacht werden. Er hat die Euler’sche Zahl e als besonderen Grenzwert einer Folge zum Thema. Diesen Exkurs schlagen wir ein weiteres mal am Ende des Themenbereichs ”Konvergenzkriterium” vor, damit man an dieser Stelle das Ziel, dieses Kriterium zu finden, weiter verfolgen kann.

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Abbildung 3.4: Der Knoten: Resümee

3.2.3 Die Funktionalität und der innere Aufbau der PASCAL-Programme

In diesem Abschnitt möchten wir auf die Programmierung der PASCAL-Program-me eingehen und ihre Funktionalität beschreiben.

PASCAL ist eine imperative Programmiersprache. Das bedeutet, daß ein Programm im Grunde nichts weiter als eine Sequenz von Befehlen ist, die der Computer ausführen muß^{20}.

����� ����� ����� ����� �����

Abbildung 3.5: Das Flußdiagramm der PASCAL-Programme für Folgen

Alle Programme die man im Kapitel Folgen der Datenbasis aufrufen kann, unterliegen bzgl. des Ablaufes dem Flußdiagramm (vgl. Abb. 3.5). Zu Beginn des Programms wird die Variable i festgelegt, die der Reihe nach die Werte 1 bis

20Weiterhin gibt es prädikative und funktionale Programmiersprachen. Nicht sauber von diesen trennbar sind die sog. objektorientierten Programmiersprachen.

“ende” annimmt. “ende” gibt an, wieviele Folgenglieder in das Koordiantensystem eingetragen werden sollen. Die Belegung der Variablen i mit den Werten 1 bis “ende” wird durch eine sog. For-Schleife realisiert. Diese Schleife wird in dem Flußdiagramm durch den Ring, den die Pfeile bilden, modelliert. “a_{i} eintragen”bildet den Eintritt in die Schleife, mit “i um 1 vergrößern” endet sie.

Für jeden Wert, den i annimmt wird der Wert des Folgengliedes a_{i} berechnet und in das Koordinatensystem eingetragen und der Wert unter dem Koordinatensystem angegeben. Dann wird der dem Wert zugehörige Ton angeschaltet. Nach einer Pause der Länge, die in Millisekunden in der Variablen p gespeichert wird, wird der Ton wieder ausgestellt.

Danach wird die Tastatur nach einer Eingabe des Anwenders abgefragt. Hat dieser die “+”-Taste gedrückt, so wird der Wert der Pausenlänge halbiert. Mit Hilfe der “-”-Taste kann die Pausenzeit verdoppelt werden. Wurde ein “t” eingegeben, so wird die Tonausgabe unterbunden, wenn sie bisher aktiv war. War sie aber bisher inaktiv, so wird sie durch die Betätigung der “t”-Taste angestellt. Jede andere Taste hat keine Auswirkung auf das Programm^{21}.

In dem Fall, daß i den Wert von “ende” angenommen hat, wird der lange Rückwärtspfeil der Schleife nicht mehr benutzt. Das Programm gibt vielmehr den Text “Bitte Return drücken!” aus. Die Betätigung der Return-Taste beendet dann das Programm.

Das Programm verwendet die Uses crt und die Uses graph. (Die Uses-Pakete sind Programmpakete, in denen sich “höhere” Befehle für die Programmiersprache befinden. Diese Befehle setzen sich aus einer Anzahl elementarer Befehle zusammen. Ein von mir verwendeter Befehl der Uses graph stellt mir einen graphikfähigen Ausgabebildschirm zur Verfügung, indem er automatisch die technischen Werte der Graphikkarte abfragt und diese bei der späteren Nutzung desselben anwendet.) Die Uses crt enthält vor allem Befehle, die die Textausgabe unter PASCAL erleichtern. Die Uses graph dagegen stellt eine Reihe von Graphikbefehlen zur Verfügung, z.B. zur Erstellung von Vierecken, Linien, Kreisen und deren Segmente, Füllungen und Schattierungen für umrahmte Flächen. Auch kann man jeden einzelnen Punkt des Bildschirms ansteuern.

Die PASCAL-Programme sind alle modular aufgebaut, d.h. daß sie Module enthalten, die bestimmte Aufgaben übernehmen. Man kann ein Modul mit einem der “höheren” Befehle der Uses vergleichen. Die PASCAL-Programme zum

21Ausnahmen bilden natürlich Tastenkombinationen wie Strg-Alt-Entf

Thema Folgen enthalten folgende Module: graphinit und graphexit zum Öffnen und Aufbauen und zum Schließen der Graphikfenster; koordinatensystem zum Ausgeben des Koordinatensystem incl. der Beschriftungen; PunktUndTon für die Ausgabe der Folgenglieder als Punkt, Ton und Dezimalzahl; folgen für die Berechnung der Folgengliedwerte und die Abfrage der Taststur.

Bei Start des Programms wird zunächst graphinit aufgerufen und abgearbeitet. Steht dann die Graphikausgabe zur Verfügung, wir mit Hilfe von koordiantensystem dasselbe aufgebaut.

In dem Modul folge befindet sich die For-Schleife. Vor dem Eintritt in die Schleife mit i=1 wird festgelegt, daß zu Beginn die Tonausgabe aktiv ist, und die Tonlänge 600 Millisekunden beträgt. Mit diesen Werten wird die Schleife betreten und der erste Folgenwert berechnet. Der Folgenwert, die Ton- und die Pausenlänge werden an das Modul PunktUndTon übergeben. Dort wird das Folgenglied als Punkt, Ton und Dezimalzahl ausgegeben. Zurück im Modul folgen wird die Tastatur abgefragt und gegebenenfalls die Tonlänge vergrößert oder verkleinert, der Ton aktiviert oder deaktiviert.

Hat i den Wert “ende” noch nicht erreicht, so tritt das Programm wieder in die Schleife ein, nachdem der Wert von i um 1 vergrößert wurde. Ansonsten wird man aufgefordert, die Return-Taste zu drücken, um das Programm zu beenden.

Das Thema ”Funktionen“ in HYTEX

Ruth Dietzel

4.1 Funktionen als Thema des Mathematikunterrichts

4.1.1 Geschichte des Funktionsbegriffs

Wenn Funktionen auch schon in der Antike implizit benutzt wurden — sei es in Form von Tabellen, Rechenvorschriften und Kurven oder als variabel gedachte Figuren bei geometrischen Konstruktionen —, so begann man in der Mathematik doch erst viele Jahrhunderte später, Funktionen explizit in Begriffe zu fassen und zu untersuchen.

Als erster wird in diesem Zusammenhang der Mathematiker und Bischof Nicole Orèsme (1323? – 1382) genannt (vgl. [Kronfellner 1987]), der Abhängigkeiten von Größen graphisch darstellte. Auch Galileo Galilei (1564 – 1642) untersuchte im Bereich der Kinematik funktionale Abhängigkeiten, die er jedoch noch mit Worten beschrieb, weil die Benutzung von Variablen erst mit François Viète (1540 – 1603) populär wurde.

Gemeinsam mit der analytischen Geometrie, die auf René Descartes (1596 – 1650) zurückgeht, führte die Verwendung von Variablen zum Übergang vom geometrischen zum rechnerischen Funktionsbegriff. Eine namentliche Verwendung des Begriffs ”Funktion“ findet sich erstmals bei Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), der den Begriff benutzte, um Längen von Strecken zu bezeichnen, die von den einzelnen Punkten einer Kurve abhingen. Diese Strecken mußten im Koordinatensystem nicht unbedingt die Ordinate sein, sondern es konnte sich beispielsweise auch um die Verbindung zwischen dem jeweiligen Punkt auf der Kurve und dem Koordinatenursprung handeln (vgl. [Rinkens 1985], S. 113). Fast gleichzeitig entwickelte Isaac Newton (1643 – 1727) den Funktionsbegriff von einer physikalischen Sichtweise aus. Mit unseren heutigen Begriffen würde man sagen, daß Newton Ortsfunktionen von bewegten Punkten und deren Ableitungen nach der Zeit betrachtete.

Johann Bernoulli (1667 – 1748), der mit Leibniz in einem engen Briefkontakt stand, definierte den Begriff ” Funktion“ vier Jahre, nachdem Leibniz ihn zum ersten Mal benutzt hatte, als eine ” aus einer Veränderlichen und Konstanten zusammengesetzte Größe“ ([Rinkens 1985], S. 113). Diese Definition findet sich auch bei Leonhard Euler (1707 – 1783), der 1748 die erste systematische Aufstellung von dem gab, was bis dahin über Funktionen bekannt war. Zu der damaligen Zeit wurde noch nicht zwischen Funktion und Funktionswert unterschieden, die Eindeutigkeit der Zuordnung war für eine Funktion noch nicht notwendig, es wurden keine Aussagen über Definitionsmengen gemacht und man betrachtete nach unserem heutigen Begriffsverständnis nur stetige Funktionen. Diese Eigenschaften wurden immer als ganz selbstverständlich vorausgesetzt und deshalb nirgendwo explizit festlegt.

Erst Joseph Fourier (1768 – 1830) erkannte, daß man mit den gegebenen Definitionen auch \frac{π}{4} ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(2n+1)x}{2n+1} als Funktion betrachten konnte, obwohl der Graph dieser Funktion bei allen ganzzahligen Vielfachen von π eine Sprungstelle hat. Beim Vergleich von Funktionen, die in einem bestimmten Bereich übereinstimmten, bemerkte er außerdem, daß die Angabe einer Definitionsmenge sinnvoll war. Peter Lejeune Dirichlets (1805 – 1859) Sprungfunktion

f(x) = lim_{n→∞} lim_{k→∞}(cos^{2}(n!πx))^{k} = \{ \begin{matrix}1 & ∀x ∈ Q \\ 0 & ∀x ∈ R\Q \end{matrix}

zeigte endgültig, daß der Funktionsbegriff viel allgemeiner aufgefaßt werden konnte, als man bis dahin angenommen hatte. Daraufhin mußte man sich entscheiden, ob die neuen Ausdrücke zu den Funktionen dazugerechnet werden sollten oder nicht. Die Entwicklung führte schließlich zu dem von Hermann Hankel (1839 – 1873) so genannten Dirichlet´ schen Funktionsbegriff, bei dem unter einer Funktion eine eindeutige punktweise Zuordnung einer veränderlichen Größe zu einer anderen verstanden wird. Mit dem Dirichlet´ schen Funktionsbegriff verbinden sich außerdem Namen wie Bernhard Riemann (1826 – 1866), Karl Weierstraß (1815 – 1879) und Iwanowitsch Lobatschewski (1793 – 1856).

Die Entwicklung anderer Rechenobjekte – wie Vektoren – durch Hermann Grassmann (1809 – 1877) und William Hamilton (1805 – 1865) führte zur Erweiterung des Funktions- zum Abbildungsbegriff. Infolge der Mengenlehre und der Logik von George Boole (1815 – 1864), Georg Cantor (1845 – 1918), Gottlob Frege (1848 – 1925) und Bernard Bolzano (1781 – 1848) kam es zu einer Betonung des mengentheoretischen Aspekts. Durch die Interpretation einer Funktion als spezielle Relation versuchte man das Problem zu lösen, daß in allen vorangegangenen Definitionen nie definiert war, was unter Bildungsgesetz, Funktionsvorschrift, u.ä. zu verstehen war. Den mengentheoretischen Ansatz verfolgten unter anderem Richard Dedekind (1831 – 1916), E. Schröder (1841 – 1902) und Haussdorff (1868 – 1942).

Damit endete jedoch noch nicht die Entwicklung des Funktionsbegriffs. Das Problem, wann zwei Funktionen als gleich angesehen werden sollten, führte Anfang des 20. Jahrhunderts wiederum auf die Frage, was eine Funktion eigentlich sei. Man betrachtete daraufhin Fourierreihen und untersuchte, unter welchen Bedingungen zwei Reihen konvergieren und gleich sind. Analog zum Übergang von Vektoren zu Vektorräumen wurde außerdem mit der Untersuchung von Funktionenräumen begonnen. Diese modernen Aspekte von Funktionen haben allerdings noch keinen Eingang in die Schule gefunden, in der der Dirichlet´ sche Funktionsbegriff oder auch Funktionen als spezielle Relationen gelehrt werden.

Wenn hier auch nicht alle genannt sind, die sich mit Funktionen beschäftigten, so ist doch ersichtlich, daß viele der bedeutenden Mathematiker und Mathematikerinnen der Neuzeit Funktionen benutzten und untersuchten. Es gibt außerdem heute kein Gebiet der Mathematik, das nicht in irgendeiner Form das Konzept von Funktionen verwendet (vgl. [Rinkens 1985], S. 107). Werner Blum und Günter Törner bezeichnen den Funktionsbegriff als ”Leitbegriff“ der Mathematik.

In einer Vorlesung zur Didaktik der Analysis wurde die Bedeutung von Funktionen und ihrer Untersuchung einmal so beschrieben:

”Funktionen sind Mittel und Werkzeuge, um Zusammenhänge oder Abhängigkeiten in der Realität zu beschreiben. Ihre Untersuchung wiederum führt zu neuen Fragestellungen und Einsatzmöglichkeiten.“ ([Rinkens 1995])

4.1.2 Geschichte des Schulstoffs ”Funktionen“

Für das Thema ”Funktionen“ als Stoff des Mathematikunterrichts in der Schule ergibt sich für die Zeit vor 1900 durch die Aufteilung Deutschlands in kleine Staaten mit unterschiedlichen Schulsystemen kein einheitliches Bild.

Im Juni 1900 fand eine Allgemeine Schulkonferenz statt, mit der die sogenannte Meraner-Reform begann, die bis 1925 dauerte und deren Ziel die Reform des gesamten mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts war. Man erkannte, daß die humanistisch orientierten Gymnasien nicht für die Erfüllung der steigenden Anforderungen an Wissenschaft und Technik sorgten. Mit der Juni-Konferenz wurden daher die mehr anwendungsorientierten Realgymnasien mit den traditionellen Gymnasien gleichgestellt.

Da in den darauffolgenden Lehrplänen jedoch die Beschlüsse der Konferenz nicht vollständig verwirklicht worden waren, legten einige Naturwissenschaftler unter der Leitung des Mathematikers Felix Klein (1849 – 1925) auf einer Versammlung von Naturwissenschaftlern und Ärzten in Meran 1905 ihre Meraner Pläne zur Reform des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts vor. In ihnen forderten sie für den Mathematikunterricht die ” ... Einführung des Funktionsbegriffs [...], der möglichst in anschaulicher Form das Ganze des Unterrichts, von den Anfängen bis zu seiner Krönung in der Infinitesimalrechnung, zusammenfaßt.“ ([Blum/Törner 1983], S. 184). Aufgrund des Widerstandes von einigen Lehrern und Lehrerinnen sowohl in den Schulen als auch an den Universitäten kam man in Meran zu dem Kompromiß, die Entscheidung über die Behandlung der Infinitesimalrechnung in der Oberstufe den Fachlehrern und -lehrerinnen zu überlassen.

Erst 1925 wurde mit der Richert´ schen Schulreform die Unterrichtung von Differential- und Integralrechnung obligatorisch.

In der Zeit des Nationalsozialismus in den Jahren 1933 – 1945 beschränkte man den mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht auf praktische Anwendungen, z.B. im volkswirtschaftlichen und militärisch-technischen Bereich.

Nach dem Zweiten Weltkrieg, bei dessen Ende das gesamte Schulsystem zusammengebrochen war, versuchte man an die Zeit vor 1933 anzuknüpfen. Dennoch orientierte sich der Unterricht in der Oberstufe zunächst stärker an der Geometrie als an der Analysis. Der Tutzinger Maturitätskatalog erschwerte es den fortschrittlich denkenden Wissenschaftlern und Wissenschaftlerinnen außerdem, eine Modernisierung des Mathematikunterrichts mit einer Betonung der Analysis zu erreichen. In der Fassung von 1958 steht: ”Auf Analysis kann verzichtet werden.“ ([Blum/Törner 1983], S. 188). 1960 schlugen sich diese Ansichten in der Saarbrücker Rahmenvereinbarung der Kultusminister-Konferenz (KMK) zur Ordnung des Unterrichts auf der Oberstufe der Gymnasien nieder, indem der mathematisch-naturwissenschaftliche Unterricht im Sinne des Maturitätskatalogs gekürzt wurde (vgl. [Blum/Törner 1983], S. 188).

Der Sputnik-Schock 1958 löste in den USA ein Streben nach Verwissenschaftlichung des Unterrichts und die Einführung der Neuen Mathematik aus. Mit einer Verspätung von fast zehn Jahren gelangten diese Ideen nach Deutschland. In den Empfehlungen und Richtlinien der KMK von 1968 wurde die Neue Mathematik für den Unterricht festgelegt, mit deren Hilfe die ”Kluft zwischen Schulund Hochschulmathematik“ beseitigt werden sollte ([Blum/Törner 1983], S. 189). Damit begann für den Analysisunterricht, der sich trotz allem immer mehr durchgesetzt hatte, die sogenannte ”Strenge-Welle“ (streng deshalb, weil der Stoff so ”exakt wie möglich“ vermittelt werden sollte). Schulbücher für den Analysisunterricht zeigten dieses Bestreben durch eine Präsentation axiomatischer Mathematik, in der der Funktionsbegriff – wie alles – auf den Mengenbegriff zurückgeführt, Funktionen also als spezielle Relationen eingeführt wurden (vgl. [Engelhard 1977]).

Mit der Vereinbarung der KMK zur Neugestaltung der Oberstufe von 1972, in der das Kurssystem festgelegt wurde, bekam die Analysis eine zentrale Bedeutung im Mathematikunterricht der Oberstufe. In Nordrhein-Westfalen sah man eine Aufteilung in drei Kurse vor, einen Vorkurs und jeweils einen Kurs zur Differential- und zur Integralrechnung.

Aufgrund unterrichtlicher Erfahrungen mit der ” strengen“ Mathematik entwickelten sich Ende der 70er Jahre Gegenströmungen. In der Denkschrift der Deutschen Mathematiker-Vereinigung von 1976 heißt es: ”Jedoch muß das Verhältnis der für ein Gebiet typischen Probleme, Grundgedanken und Methoden, das Verständnis des Inhaltes eines Satzes und der Grundidee eines Beweises unbedingt den Vorrang behalten vor formaler Exaktheit und Vollständigkeit ...“ ([Blum/Törner 1983], S. 191). Diese Bewegung zeigt sich zum Beispiel in modernen Schulbüchern zur Analysis, in denen sehr viel Wert auf Anschaulichkeit und Verständlichkeit gelegt wird (vgl. z.B. [Griesel/Postel 1992]).

4.1.3 Funktionen in der Sekundarstufe I

Im heutigen Mathematikunterricht der Sekundarstufe I – wobei wir uns im Hinblick auf die Fortführung in der Oberstufe auf das Gymnasium beziehen – werden Funktionen implizit bereits in der fünften und sechsten Klasse behandelt und zwar bei der Betrachtung von Abhängigkeiten zwischen Größen in konkreten Bezügen – wie die Berechnung von Flächeninhalten –, in Formeln, Tabellen und durch Operatoren.

Der Begriff ” Funktion“ wird normalerweise zum ersten Mal in der siebten Klasse verwendet. Meist wird, ausgehend von den proportionalen Zuordnungen mit und ohne Grundwert, zunächst ein Verständnis von linearen Funktionen entwickelt. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler verschiedene Darstellungsweisen für Funktionen, wie Tabelle, Graph, Zuordnungsvorschrift und Funktionsgleichung, kennen und üben den Wechsel zwischen diesen Darstellungen. Bei den linearen Funktionen im speziellen wird das Steigungsdreieck betrachtet und der Zusammenhang zwischen dem geometrischen Aussehen und der analytischen Beschreibung herausgearbeitet, unter anderem durch die Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden. Neben den proportionalen werden zudem antiproportionale Zuordnungen behandelt, die zu Funktionen mit Funktionsgleichungen der Form y = \frac{a}{x} führen.

Meist werden die quadratischen Funktionen ab der neunten Klasse eingeführt, wodurch man ” ... den Prototyp der Funktionenklasse (ganzrationale Funktionen)“ hat, ”in der man in der Sekundarstufe II die Analysis betreibt.“ ([Rinkens 1985], S. 146). Die Richtlinien nennen als Motivation zur Behandlung quadratischer Funktionen schon für die Sekundarstufe I einfache Extremwertaufgaben (vgl. [Richtlinien Mathematik Sek I], S. 53). Bei der Behandlung dieser Funktionen beginnt man zunächst mit der Normalparabel und entwickelt aus ihr durch Verschieben und Strecken des Funktionsgraphen die allgemeine Parabel.

Sowohl algebraisch als auch graphisch bietet sich eine Herleitung der Quadratwurzelfunktionen aus den quadratischen Funktionen an. Bei den Wurzelfunktionen wird noch einmal verdeutlicht, daß eine Funktion eine eindeutige (d.h. rechtseindeutige) Zuordnung ist.

Desweiteren ist für die Sekundarstufe I in Fortsetzung der quadratischen Funktionen die Behandlung allgemeiner Potenzfunktionen vorgesehen. Außerdem sollen bereits in Klasse 10 Exponentialfunktionen anhand der Betrachtung von Prozessen mit exponentiellem Wachstum eingeführt werden. Bei der Behandlung von Umkehrfunktionen lernen die Schülerinnen und Schüler dann auch die Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion kennen.

Im Bereich Geometrie kommen schließlich noch die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens dazu.

Neben dem Funktionsbegriff selber lernen die Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe I an Funktionstypen somit lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und Wurzelfunktionen kennen. Bei den Funktionseigenschaften werden Nullstellen, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Umkehrbarkeit, Beschränktheit, Monotonie, Periodizität, Symmetrie und ggf. Extrempunkte behandelt. Am Ende der Klasse 10 sollten darüber hinaus an Operationen mit Funktionen das Verschieben, das Strecken und ggf. das Spiegeln bekannt sein. (vgl. [Rinkens 1995]; [Rinkens 1985], S.107–179; [Richtlinien Mathematik Sek I])

4.1.4 Funktionen in der Sekundarstufe II

Ein zentrales Thema des Mathematikunterrichts in der Oberstufe ist die Analysis, der Bereich der Mathematik, in dem reelle Funktionen untersucht werden. Wie oben bereits erwähnt, ist der Kurs in Analysis in drei Teile geteilt, in einen Vorkurs und jeweils einen Kurs zur Differential- und Integralrechnung, von denen die letzten beiden und manchmal auch Teile des Vorkurses in Form eines (meist dreistündigen) Grundkurses oder eines (meist fünf- bis sechsstündigen) Leistungskurses angeboten werden. Der Leistungskurs unterscheidet sich vom Grundkurs durch ein höheres fachliches Niveau und eine größere Anzahl an Inhalten.

Ziel des Vorkurses ist u.a. das Beherrschen der für die Oberstufe wichtigen Inhalte aus der Sekundarstufe I, so z.B. die Menge der reellen Zahlen, der Umgang mit Gleichungen und Ungleichungen und eine gute Vorstellung von Funktionen. In diesem Zusammenhang kann also der Funktionsbegriff noch einmal wiederholt werden, und zwar gemeinsam mit den Begriffen Definitions- und Wertemenge und verschiedenen Darstellungsweisen für Funktionen, wie Funktionsvorschrift, Funktionsgleichung, Graph, Pfeildiagramm und Wertetabelle.

Darüber hinaus sollen die Schülerinnen und Schüler mit den wichtigsten Funktionenklassen vertraut werden. Dazu gehören lineare Funktionen, ganzrationale Funktionen, rationale Funktionen, Betragsfunktionen, Wurzelfunktionen, trigonometrische Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen und abschnittweise definierte Funktionen, wie die Vorzeichen- und die Betragsfunktion. Auch die Behandlung von Folgen (vgl. Kapitel 3) gehört zum Stoff des Vorkurses.

Mit den Funktionen vertraut werden heißt außerdem, ihre Eigenschaften kennenzulernen. Also werden die Nullstellen und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, die Beschränktheit, die Monotonie, die Umkehrbarkeit und die Symmetrie untersucht. Bereits vor Beginn der Differentialrechnung können bei einfachen Funktionen, z.B. bei quadratischen Funktionen über die Scheitelpunktform, Extremwertuntersuchungen durchgeführt werden.

Als Einführung in die infinitesimale Arbeitsweise, die für die Differential- und Integralrechnung notwendig ist, wird das Grenzwertverhalten von Funktionen einschließlich der Grenzwertsätze behandelt. Ein weiterer Begriff des Vorkurses ist die Stetigkeit, die allerdings in einer exakten mathematischen Fassung meist nur Bestandteil eines Leistungskurses ist.

Bei den Verknüpfungen von Funktionen werden die Addition, die Multiplikation, die Division und die Verkettung einschließlich der jeweiligen geometrischen Bedeutung behandelt.

Für den Grundkurs in Differentialrechnung sind die Begriffe Ableitung und Ableitungsfunktion vorgesehen. Es werden die Ableitungsregeln für Summen von Funktionen, für Funktionen mit einem konstanten Faktor, für Produkte, Quotienten und Verkettungen von Funktionen und für Umkehrfunktionen besprochen, wobei für den Grundkurs nur exemplarische Beweise vorgesehen sind.

Ein weiterer Bereich ist die Funktionsdiskussion, mit deren Hilfe Eigenschaften gegebener Funktionen festgestellt werden sollen. Darüber hinaus werden zu gegebenen Eigenschaften Funktionen ermittelt, die diese Eigenschaften besitzen. In diesem Zusammenhang spielen die Begriffe Extrempunkt, Wendepunkt und Krümmung eine Rolle. Grenzwerte und Asymptoten werden ebenfalls festgestellt.

Im Bereich der Integralrechnung soll im Grundkurs der Integralbegriff eingeführt werden. Es werden einfache Integrationsregeln, sowie der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vermittelt.

Da in Leistungskursen Vereinfachungen aufgehoben und eine größere Anzahl an Inhalten behandelt werden können, besteht die Möglichkeit in ihnen Grenzwert, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit analytisch zu fassen. Als zusätzliche Inhalte können z.B. elementare Differentialgleichungen, Reihen, partielle Integration und Integration durch Substitution, Partialbruchzerlegung und zentrale Sätze der Analysis einschließlich ihrer Beweise behandelt werden. (vgl. [Richtlinien Mathematik Sek II]; [Blum/Törner 1983], S. 201 ff)

Die hier genannten Inhalte werden sicher nicht alle in ein und demselben Umfang in den Unterricht eingehen, aber sie zeigen, was heutzutage für den Analysisunterricht vorgesehen ist.

4.2 Präsentation des Themas ”Funktionen“ in HYTEX

4.2.1 Die Inhalte

Im folgenden Abschnitt werden die aus dem Abschnitt 4.1.4 für die Datenbasis zum Thema ” Funktionen“ ausgewählten Inhalte dargestellt und ihre Auswahl begründet. In der Einleitung erwähnten wir dazu bereits, daß wir uns auf die Erstellung eines Hypertextes zum Vorkurs in Analysis beschränkten.

4.2.1.1 Die zugrundegelegten Schulbücher

Wie beim Thema Folgen orientierten wir uns an Schulbüchern, und zwar sowohl bei der Auswahl der Inhalte, als auch in der didaktischen Vorgehensweise. Um Schulbücher zur Grundlage zu machen, die nicht in der Strenge-Welle entstanden waren, wählten wir Bücher aus den 90er Jahren, und zwar ” Mathematik entdecken, verstehen, anwenden – Analysis“ von Hans Bock und Werner Walsch aus dem Jahre 1993 ([Bock/Walsch 1993]) und ” Mathematik heute - Leistungskurs Analysis“ von Heinz Griesel und Helmut Postel von 1992 ([Griesel/Postel 1992]). Außerdem entnahmen wir einige Darstellungen aus dem Buch ”Anschauliche Analysis“ von Marianne Baierlein u.a. ([Baierlein, u.a. 1985]).

Kennzeichen des Buches von Griesel und Postel ist u.a., daß neue Inhalte nicht axiomatisch oder in Form von Sätzen und Definitionen behandelt, sondern die Schülerinnen und Schüler durch Problemstellungen an den neuen Stoff herangeführt werden. Erst im Anschluß findet eine Zusammenfassung der gewonnenen Erkenntnisse in einer geordneten Form durch Sätze und Definitionen statt (vgl. z.B. [Griesel/Postel 1992], S. 8). Ziel ist das wirkliche Verständnis der Inhalte und das Erlangen von Vorstellungen über den inner- und außermathematischen Nutzen der Begriffe und Vorgehensweisen. Für ein Gesamtbild der Mathematik sorgen Hinweise auf geschichtliche Hintergründe, beispielsweise des Funktionsbegriffs ([Griesel/Postel 1992], S. 39). Darüber hinaus enthält dieses Schulbuch Funktionenkataloge ([Griesel/Postel 1992], S. 36), in denen die wichtigsten Eigenschaften und die Graphen beispielhafter Funktionen aus unterschiedlichen Funktionenklassen überblickartig zusammengestellt sind. Bei den Aufgaben wird — neben denjenigen zur Einführung — zwischen reinen Übungsaufgaben und Aufgaben zum Weiterarbeiten, in denen neue Aspekte erarbeitet werden, unterschieden (vgl. z.B. [Griesel/Postel 1992], S. 31).

Im Buch von Bock und Walsch werden nicht grundsätzlich Aufgaben zum Einführen neuer Inhalte benutzt. Die Autoren legen aber ebenfalls großen Wert darauf, anzudeuten, welche Bedeutung die einzelnen Inhalte haben (vgl. z.B. [Bock/Walsch 1993], S. 5). Kleingedruckte Bemerkungen im Text geben außerdem Informationen über historische Hintergründe. Auch dieses Buch enthält unterschiedliche Aufgabentypen. Zum einen gibt es Übungen innerhalb der einzelnen Kapitel, die direkt zum Verständnis eines neuen Unterrichtsinhalts wichtig sind (vgl. z.B. [Bock/Walsch 1993], S. 9). Zum anderen gibt es am Ende eines Kapitels eine Sammlung von Übungsaufgaben zur Festigung des gelernten Wissens (vgl. z.B. [Bock/Walsch 1993], S. 31).

Da es uns im Hinblick auf den Ansatz von Gerhard Tulodziecki zur Unterrichtsplanung und -durchführung (vgl. Kapitel 1.2.2) sinnvoll erschien, für den Lehrer bzw. die Lehrerin zum Einstieg in ein neues Unterrichtsthema eine Problemstellung anzubieten, orientierten wir uns für die Datenbasis über Funktionen hauptsächlich an dem Buch von Griesel und Postel. Ergänzend kamen Inhalte aus dem Buch von Bock und Walsch dazu.

4.2.1.2 Der rote Faden in der Datenbasis über Funktionen

Unsere Datenbasis enthält eine guided tour, in der eine Reihenfolge der Inhalte vorgeschlagen wird. Im folgenden werden wir die Inhalte der Datenbasis über Funktionen darstellen, indem wir die einzelnen Knoten entlang dieses ”roten Fadens“ beschreiben.

Der Funktionsbegriff

Der Weg durch die Inhalte beginnt mit einem Knoten, in dem zunächst die Analysis als das Gebiet der Mathematik vorgestellt wird, das sich mit reellen Funktionen beschäftigt. Anschließend geht es um die Frage nach dem Nutzen von Funktionen. Dazu werden Beispiele für die Anwendung von Funktionen in der Technik, der Physik und der Astronomie gegeben.

Darauf folgt ein Einführungsbeispiel zum Funktionsbegriff. Zu einigen gemessenen Bremsweglängen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit eines Fahrzeugs soll eine Funktion gefunden werden, mit deren Hilfe man zu einer gegebenen Geschwindigkeit den Bremsweg berechnen kann. Gesucht ist dabei eine einfache quadratische Funktion, deren Graph eine gestauchte Parabel ist. Diese Funktionen sind aus der Sekundarstufe I bereits bekannt und können hier wiederholt werden. Außerdem bekommen die Schülerinnen und Schüler einen Einblick in die Anwendung und den Nutzen von Funktionen.

Im nächsten Knoten werden die gewonnenen Erkenntnisse über Funktionen in einer Definition zusammengefaßt.

Werner Blum und Günter Törner bemerken in ihrem Buch, daß ein ”... großer Teil der Schwierigkeiten des Schülers im Zusammenhang mit dem Funktionsbegriff [...] seine Ursache in den \underline{Mängeln der traditionellen Behandlung} (hat), indem nicht sorgfältig unterschieden wird zwischen \underline{Funktion} f, \underline{Funktionsterm} f(x), \underline{Funktionsgleichung} y=f(x), \underline{Funktionswert} f(a) an der Stelle a ∈ D, \underline{Funktions-} \underline{vorschrift} x ↦ f(x) und \underline{Funktionsgraphen} \{(x,f(x))| x ∈ D\}.“ ([Blum/Törner 1983], S. 23)^{1}. Aus diesem Grund werden im Anschluß an die Definition die verschiedenen Begriffe anhand der Funktion aus dem Einführungsbeispiel verdeutlicht. Im Hinblick auf die Behandlung von Funktionen als eigenständige Objekte ist dabei besonders der Unterschied zwischen der Funktion f selber und ihrer Darstellung wichtig.

Von dem gerade beschriebenen Definitionsknoten aus ist zudem ein Knoten aktivierbar, in dem die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten – wie Graph, Pfeildiagramm, Wertetabelle, Zuordnungsvorschrift, Term, Leiterdiagramm und Funktionsgleichung – einschließlich der für sie geeigneten Anwendungssituationen zusammengestellt sind.

Es wird zwar die Möglichkeit angeboten, die folgenden Knoten über die Relationen und die linearen Funktionen zu überspringen und direkt zu den ganzrationalen Funktionen überzugehen, allerdings ist ein verständiger Umgang mit Geraden im Hinblick auf die Vorstellung von der Ableitung einer Funktion als Steigung der ”Schmieggeraden“ (vgl. [Rinkens 1995]) an den Funktionsgraphen eine wichtige Voraussetzung für die Differentialrechnung.

Im Unterschied zu der Analysis in der Strenge-Welle wurden Funktionen als eindeutige Zuordnungen und nicht als spezielle Relationen definiert. Dafür spricht einmal, daß in ”... außermathematischen \underline{Anwendungen} [...] i.a. der Zuordnungsgedanke im Vordergrund (steht) ...“ ([Blum/Törner 1983], S. 34)^{1}. Außerdem benötigt man für die Relationen eine Mengenschreibweise, die sehr formal ist und voraussetzt, daß die Schülerinnen und Schüler bereits auf einem hohen Abstraktionsniveau arbeiten können (vgl. [Blum/Törner 1983], S. 33). Deshalb wird erst im Anschluß an die Definition der Funktionsbegriff gegen nicht-rechtseindeutige Relationen abgegrenzt, wodurch noch einmal die Besonderheit der Eindeutigkeit der Zuordnung bei einer Funktion herausgestellt wird.

1Hervorhebungen wie im Original

Dies geschieht zum einen anhand der Wurzelfunktion, bei der das Pfeildiagramm als Darstellungsweise auftaucht, und zum anderen anhand der Kreisgleichung.

Lineare Funktionen

Wiederum mit Hilfe der Aufgabe, zu gegebenen Meßpunkten eine Funktion zu finden, wird daraufhin die Klasse der linearen Funktionen eingeführt bzw. wiederholt.

Es folgt die Definition einer linearen Funktion.

Die nächsten vier Knoten beschäftigen sich mit der Darstellung linearer Funktionen als Geraden im Koordinatensystem.

Zunächst geht es um die Beschreibung der Steigung von Geraden. Hier wird für die Differentialrechnung vorgearbeitet, denn abgesehen davon, daß später Geraden als Schmieggeraden an einen Funktionsgraphen betrachtet werden, wird der Begriff der Änderungsrate eingeführt. Es schließt sich ein Satz an, der besagt, daß der Graph einer linearen Funktion eine Gerade ist. Dabei wird zusammengefaßt, inwiefern der Graph einzelne Komponenten des Funktionsterms widerspiegelt, wodurch der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsweisen und zwischen Geometrie und Algebra deutlich wird.

Schließlich bietet dieser Knoten die Möglichkeit, die folgenden Knoten über die verschiedenen Formen der Geradengleichung und die Bestimmung von Schnittmengen von Geraden zu überspringen.

Die Normalform, die Punkt-Steigungs-Form und die 2-Punkte-Form der Geradengleichung werden dann anhand von Aufgaben behandelt. Dabei soll aus jeweils unterschiedlichen Informationen die zugehörige Geradengleichung aufgestellt werden. Den Abschluß des Knotens bildet ein zusammenfassender Überblick über die verschiedenen Formen, der sich für einen Ausdruck anbietet.

Es folgen Aufgaben, bei denen man eine Form der Geradengleichung in eine andere umformen muß, wodurch die Gleichwertigkeit der unterschiedlichen Gleichungsformen deutlich wird.

Den Abschluß des Exkurses zu den Geraden bildet ein Knoten über die Bestimmung der Schnittmengen verschiedener Geraden, was einer graphischen Lösung linearer Gleichungssysteme entspricht, die auf diese Weise wiederholt werden können. Außerdem wird wiederum der Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra aufgegriffen.

Ganzrationale Funktionen

Nach den linearen Funktionen kann man zur Klasse der ganzrationalen Funktionen übergehen. Zur Einführung wird diesmal keine Aufgabe sondern ein Beispiel angeboten, bei dem das Füllvolumen einer Altölwanne in Abhängigkeit von der Einfüllhöhe angegeben wird. Die Form der Wanne bedingt, daß sich eine ganzrationale Funktion 3. Grades ergibt.

Darüber hinaus zeigt dieses Beispiel, daß einige Formeln aus der Geometrie unter Umständen auch als Funktionen aufgefaßt werden können, was für die Behandlung von Extremwertaufgaben wichtig ist.

Wie bei den anderen Inhalten werden die gewonnenen Erkenntnisse daraufhin in einem Definitionsknoten zusammengefaßt. Mit Blick auf das Integrationsprinzip (vgl. [Blum/Törner 1983], S. 239) werden an dieser Stelle die quadratischen und die linearen Funktionen in die Klasse der ganzrationalen Funktionen eingeordnet. Man kann außerdem einen Knoten aufrufen, in dem das Horner-Schema behandelt wird, das z.B. für die Berechnung von Funktionswerten bei Funktionen nützlich ist, deren Funktionsterm als Polynom geschrieben werden kann (vgl. [Blum/Törner 1983], S. 30). Außerdem bietet es sich für eine sinnvolle Einbindung des Taschenrechners in den Mathematikunterricht an, denn man kann bei der Verwendung des Schemas Rundungsfehler des Rechners thematisieren und zeigen, daß sich diese Rundungsfehler verkleinern lassen, wenn man ein günstiges Rechenverfahren anwendet.

An den Definitionsknoten schließt sich im Verlauf des roten Fadens ein Knoten zur Festigung des Begriffs der ”ganzrationalen Funktion“ an. Er enthält zunächst Beispiele von ganzrationalen Funktionen. Danach sollen die Schülerinnen und Schüler in Aufgaben zwischen ganzrationalen und gebrochenrationalen bzw. zwischen rationalen und nichtrationalen Funktionen unterscheiden.

Funktionseigenschaften

Der nächste Knoten enthält ein Menü, wodurch er sich von den vorangegangenen unterscheidet. Anhand der Beispiele von ganzrationalen Funktionen kann die Untersuchung von verschiedenen Funktionseigenschaften eingeführt werden. Da sich dafür keine Reihenfolge in zwingender Weise ergibt, kann man in dem Menü auswählen, welche Eigenschaft als nächstes betrachtet werden soll. Als Standardprogramm wird die Untersuchung von Monotonie, Symmetrie, Nullstellen und Beschränktheit angeboten. Zusätzlich können Umkehrbarkeit, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte und Stetigkeit behandelt werden.

Sowohl die Extrempunkte als auch die Stetigkeit werden zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal betrachtet. Extrempunkte werden im zweiten Kurs zur Analysis mit den Mitteln der Differentialrechnung untersucht, und Stetigkeit kann mit Hilfe von Folgen und Grenzwerten exakt definiert werden. Dennoch ist es auch ohne die Differentialrechnung möglich, Extrempunkte zu definieren und zu untersuchen. Sie sind dann im Sinne von Wygotskis ” Zone der nächsten Entwicklung“ später bereits bekannt und können in die folgenden neuen Inhalte mit integriert werden. Auch ein Vorverständnis von Stetigkeit als ”Durchzeichenbarkeit“ des Graphen kann zu diesem Zeitpunkt gebildet werden, nicht jedoch ohne zu zeigen, daß die Durchzeichenbarkeit kein ausreichendes Kriterium ist.

Schließlich hat man am Menüknoten zu den Eigenschaften durch einen speziellen Button die Möglichkeit, die folgenden Knoten, in denen die trigonometrischen Funktionen wiederholt werden, zu überspringen und direkt zum Abbilden von Funktionsgraphen zu gehen.

Trigonometrische Funktionen

Die Wichtigkeit der trigonometrischen Funktionen, die hier am Einheitskreis definiert werden, liegt einmal in ihrer Bedeutung für die Anwendung, beispielsweise bei der Beschreibung von mechanischen oder elektrischen Schwingungen. Außerdem bieten sie zusammen mit den Exponential- und Logarithmusfunktionen die Möglichkeit, nicht algebraische Funktionen zu behandeln, wobei die trigonometrischen Funktionen im speziellen außerdem das Phänomen der Periodizität zeigen (vgl. [Blum/Törner 1983], S. 39, 40).

Der Knoten, der sich an die Definition anschließt, beinhaltet Aufgaben zu den Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen. In ihnen werden die zugehörigen Funktionsgraphen, die Symmetrieeigenschaften derselben und die Periodizität der Funktionen herausgearbeitet.

Ebenfalls um die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen geht es im nächsten Knoten. Hier wird die Verbindung zur ersten Definition der trigonometrischen Funktionen in der Sekundarstufe I durch die Betrachtung von Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck hergestellt. Außerdem kann man die Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus erarbeiten.

Danach werden die trigonometrischen Funktionen auf der Menge der reellen Zahlen definiert. Dazu wird das Bogenmaß wiederholt. Auch der Umgang mit dem Taschenrechner zur Berechnung von Sinus-, Cosinus- und Tangens-Werten wird angesprochen.

Abbilden von Funktionsgraphen

Speziell die Sinusfunktion wird anschließend zur Einführung des Abbildens von Funktionsgraphen benutzt. In der Einführungsaufgabe soll eine Funktion bestimmt werden, die für jeden Tag die zugehörige Sonnenscheindauer angibt. Aufgrund der Periodizität bietet sich eine modifizierte Sinusfunktion an. Ausgehend von den Meßpunkten im Koordinatensystem soll die Sinusfunktion so verschoben und gestreckt werden, daß sich ihr Graph den Meßpunkten möglichst gut annähert. Dieses Beispiel kann man im Unterricht für eine Diskussion über das Verhältnis zwischen mathematischem Modell und Realität nutzen, denn die tatsächliche Sonnenscheindauer verändert sich längerfristig in Wirklichkeit durch kosmische Einflüsse.

Wie schon oft, findet sich auch hier eine Zusammenfassung, die man ausdrucken und den Schülerinnen und Schülern an die Hand geben kann, diesmal zum Spiegeln, Strecken und Verschieben von Funktionsgraphen.

Verknüpfen von Funktionen

Im nächsten Knoten wird die im vorangegangenen Knoten zur Sonnenscheindauer gefundene Funktion unter dem Aspekt des Verkettens von Funktionen betrachtet. Dabei werden die Begriffe ” innere Funktion“ und ” äußere Funktion“ eingeführt und weitere Beispiele von verketteten Funktionen gegeben.

Blum und Törner nennen als ” wesentliches Ziel der Funktionenlehre in der Schule“, ” Funktionen als eigenständige mathematische Objekte herauszuarbeiten“ ([Blum/Törner 1983], S. 31). Neben dem Verketten von Funktionen trägt dazu die Verknüpfung durch Operationen analog zu den arithmetischen Operationen +, –, ·, / bei. Der dazugehörige Knoten besteht aus Aufgaben, bei denen man herausfinden soll, wie die Funktionen graphisch und algebraisch aussehen, die durch das Verknüpfen von gegebenen Funktionen entstehen.

Funktionenkatalog I

Für einen Überblick über die behandelten Funktionenklassen sorgt ein Knoten, der einen Funktionenkatalog enthält. Im Katalog sind die linearen Funktionen, die Potenzfunktionen mit einem geraden, positiven Exponenten aus der Menge der natürlichen Zahlen, die Potenzfunktionen mit einem ungeraden, positiven Exponenten aus der Menge der natürlichen Zahlen und die trigonometrischen Funktionen enthalten. Zu jeder dieser Funktionenklassen kann man einen Knoten aufrufen, der jeweils Informationen über den Verlauf des Funktionsgraphen, die Funktionsvorschrift, die Definitions- und Wertemenge, die Monotonie und sonstige Besonderheiten enthält.

Historischer Rückblick zum Funktionsbegriff

Den Abschluß des ersten Teils zum Thema ” Funktionen“ bildet ein Knoten über die historische Entwicklung des Funktionsbegriffs. Der Blick in die Geschichte der Mathematik zeigt zum einen die Bedeutung des Funktionsbegriffs und zum anderen wird deutlich, wie Funktionen heutzutage gesehen werden und warum. Dadurch werden typische Fehler der Schülerinnen und Schüler deutlich, aber auch relativiert, denn vieles, was heute als falsch gilt, war zu früheren Zeiten durchaus richtig. Zum Beispiel gab es Zeiten, in denen man nicht zwischen Funktion und Funktionswert unterschied (vgl. [Kronfellner 1987]).

Sowohl dieser historische Rückblick als auch der Rückblick am Ende des roten Fadens sind so geschrieben, daß sie auch von Schülerinnen und Schülern verstanden werden können.

Folgen

Der zweite Teil der Datenbasis zu den Funktionen behandelt die Betrachtung von Grenzwerten bei Funktionen und die exakte Definition der Stetigkeit. Da die Grenzwerte mit Hilfe von Folgen definiert werden sollen, geht der rote Faden zunächst in der Datenbasis über Folgen weiter (vgl. Kapitel 3), bevor er wieder zu den Funktionen kommt.

Rationale Funktionen

Mit einer Einführung zur Betrachtung von Grenzwerten bei Funktionen beginnt der rote Faden im zweiten Teil. Als Beispiel dient die Steuersatzfunktion. Zusätzlich wird in einer Bemerkung die Steuerfunktion angegeben, da sie ein ergiebiges Beispiel für die Einführung in die Differentialrechnung über die Vorstellung von lokalen Änderungsraten ist (vgl. [Rinkens 1995]).

Die Steuersatzfunktion ist außerdem ein Beispiel für eine gebrochenrationale Funktion. Dies wird im nächsten Knoten genutzt, um rationale Funktionen zu definieren.

Der darauffolgende Knoten bietet Informationen zu verschiedenen Formen von Definitionslücken. An jeweils ein Beispiel einer Funktion mit einer Polstelle und einer Funktion mit einer stetig hebbaren Definitionslücke schließt sich eine zusammenfassende Darstellung über Definitionslücken an.

Die nächsten Knoten zu den Grenzwerten und Grenzwertsätzen teilen sich in Betrachtungen für x → ∞ und x → a auf, wobei a eine beliebige reelle Zahl ist. Diese Unterteilung ist analog zum Vorgehen im Buch von Griesel und Postel gewählt.

Grenzwerte für x → ∞

Bevor Grenzwerte exakt definiert werden, gibt es einen Knoten, der an drei Beispielen zeigt, wie sich Funktionen für x → ∞ verhalten können. Dabei werden verschiedene Asymptoten betrachtet, und zwar die x-Achse, eine Parallele zur x-Achse und eine Gerade mit einer Steigung ungleich 0.

Die Beispiele stützen sich nur auf Grenzwerte, die leicht einsehbar sind. Lediglich bei einem Beispiel ist eine Polynomdivision notwendig, wodurch sich aber auch eine gute Möglichkeit bietet, auf selbige einzugehen. Dazu kann ein spezieller Knoten aufgerufen werden.

Den Abschluß des Knotens bildet wiederum eine Zusammenfassung des derzeitigen Wissensstandes über Grenzwerte und Asymptoten.

Der Knoten über die Präzisierung des Grenzwertbegriffs bei Funktionen beginnt mit dem Hinweis, daß es nicht ausreicht, einzelne x-Werte zur Bestimmung von Grenzwerten zu betrachten. Parallel bei einem konkreten Zahlenbeispiel und allgemein wird daraufhin ein Grenzwert mit Hilfe einer Folge bestimmt. Anschließend wird begründet, warum man eine beliebige Folge benutzen muß, und das Verfahren noch einmal mit einer beliebigen Folge durchgeführt.

In der abschließenden Definition eines Grenzwertes wird das algorithmische Vorgehen bei der Bestimmung eines Grenzwertes beschrieben (vgl. [Griesel/Postel 1992]). Der Begriff der Konvergenz wird dabei aus der Unterrichtseinheit über Folgen vorausgesetzt.

Grenzwertsätze für x → ∞

Die Einführung der Grenzwertsätze für Funktionen beginnt mit einem Hinweis auf die Grenzwertsätze bei den Folgen. Es werden dann Aufgaben gestellt, in denen die Schülerinnen und Schüler für einige Funktionen u und v z.B. lim_{x→∞}(u(x)+v(x)) und lim_{x→∞} u(x)+lim_{x→∞} v(x) vergleichen sollen. Mit Hilfe der Grenzwertsätze für Folgen soll außerdem der Grenzwertsatz für Summenfunktionen als Beispiel bewiesen werden.

Der nächste Knoten enthält eine zusammenfassende Darstellung der Grenzwertsätze für Funktionen ohne weitere Beweise.

Grenzwerte und Grenzwertsätze für x → a

Bei der Betrachtung von Grenzwerten für x gegen eine Stelle a wird ähnlich wie bei den Grenzwerten von Funktionen für x → ∞ vorgegangen. Als erstes werden in Beispielen Funktionen mit Polstellen, mit stetig hebbaren Definitionslücken und mit Sprungstellen betrachtet. Außerdem werden Funktionen gezeigt, deren Graph oszilliert.

In Aufgaben soll dann zunächst das Verhalten von Funktionen an einer bestimmten Stelle beschrieben werden. Auch durch das Einsetzen von Zahlenwerten sollen die Schülerinnen und Schüler eine Vorstellung davon bekommen, wie sich Funktionen an einer Stelle verhalten können. Die exakte Definition des Grenzwertes erfolgt wiederum in einer Handlungsanweisung.

Die Grenzwertsätze für Grenzwerte mit x → a werden im nächsten Knoten mit einem Hinweis auf die Grenzwertsätze mit x → ∞ ohne Beweis eingeführt.

Stetigkeit

Der Knoten, der auf die Betrachtung von Grenzwerten folgt, geht auf die Stetigkeitseigenschaft von Funktionen ein. Zunächst wird auf die oben schon beschriebene anschauliche Fassung der Stetigkeit hingewiesen. Die exakte Definition erfolgt analog zum Vorgehen im Buch von Griesel und Postel (vgl. [Griesel/Postel 1992], S. 92) nicht mit Hilfe von ϵδ-Umgebungen, sondern über die Grenzwerte lim_{x→a} f(x).

Am Ende des Knotens wird auf die Funktion f mit

f(x) = \{ \begin{matrix}sin \frac{1}{x} & ; & x ≠ 0 \\ 0 & ; & x = 0 \end{matrix}

eingegangen. Sie zeigte bei der anschaulichen Fassung, daß die Durchzeichenbarkeit als Kriterium für die Stetigkeit nicht ausreicht. Nach der Behandlung der Grenzwerte kann mit Hilfe der Folgen gezeigt werden, daß diese Funktion an der Stelle 0 nicht stetig ist.

Historischer Rückblick zur Stetigkeit

Der vorletzte Knoten des roten Fadens beinhaltet einen weiteren Überblick über die historische Entwicklung des Funktionsbegriffs. Hier wird, im Unterschied zum ersten Blick in die Geschichte, die Entwicklung von der Betrachtung ausschließlich stetiger Funktionen zum allgemeinen Funktionsbegriff beschrieben.

Funktionenkatalog II

Am Ende des roten Fadens befindet sich ein zweiter Funktionenkatalog. Er enthält alle Funktionen des ersten Funktionenkatalogs und zusätzlich die Potenzfunktionen mit geraden und ungeraden, negativen Exponenten aus der Menge der natürlichen Zahlen, die Exponential- und Logarithmusfunktionen, die Betragsund die Wurzelfunktionen. Außer den Informationen, die auch im ersten Funktionenkatalog zu den einzelnen Funktionen aufgelistet sind, wird gegebenenfalls auf Asymptoten der Funktionsgraphen eingegangen.

Die Exponential- und Logarithmusfunktionen sind zwar z.B. von Blum und Törner (vgl. [Blum/Törner 1983], S. 41) für den Vorkurs in Analysis vorgesehen, werden in den von uns benutzten Schulbüchern jedoch erst nach der Einführung in die Differentialrechnung behandelt. Aus diesem Grund nahmen wir sie in der Datenbasis nur in den zweiten Funktionenkatalog auf, um dort einen möglichst vollständigen Überblick zu den Funktionenklassen anzubieten.

Übungen

Zusätzlich zu den beschriebenen Knoten enthält die Datenbasis über Funktionen Knoten mit Übungsaufgaben zu den einzelnen Themen. Die Aufgaben sind sowohl dem Buch von Griesel und Postel ([Griesel/Postel 1992]), als auch dem Buch von Bock und Walsch ([Bock/Walsch 1993]) entnommen.

4.2.2 Die Netzstruktur

Die Abbildung 4.1 zeigt die Netzstruktur der Knoten, die zum Bereich ”Funktionen“ gehören. Der besseren Übersicht wegen sind nicht alle Links und Knoten eingezeichnet.

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Abbildung 4.1: Die Netzstruktur der Datenbasis zu ”Funktionen“

4.2.2.1 Die lineare Struktur

Man erkennt in dem Netz eine lineare Struktur am unteren Rand der Abbildung und eine baumartige Struktur, die darüber liegt. Linear angeordnet sind die Knoten, in denen die eigentlichen Unterrichtsinhalte stehen. Sie werden im folgenden Inhaltsknoten genannt. Von diesen Knoten gelangt man zum jeweils darauffolgenden über den Button ”nächster Inhalt“ und folgt so der von uns vorgeschlagenen guided tour. Nach einer ersten Betrachtung von Funktionen und ihren Eigenschaften kommt man dabei automatisch zu den Inhalten über Folgen und von dort wieder zurück zur weiteren Behandlung der Funktionen. Will man sich in den Inhalten rückwärts bewegen, kann man den Button ”vorheriger Inhalt“ verwenden.

An einige Inhaltsknoten sind noch weitere Knoten angehängt, die nicht zum roten Faden durch die Inhalte gehören. Sie enthalten entweder Exkurse – wie zum Beispiel bei den gebrochenrationalen Funktionen, wo bei Bedarf die Polynomdivision eingeschoben werden kann – oder Inhalte, deren Reihenfolge beliebig ist – wie bei den Funktionseigenschaften, die nach der Behandlung der linearen und ganzrationalen Funktionen betrachtet werden können.

Von manchen Inhaltsknoten aus können einige der folgenden Knoten übersprungen werden. Die Buttons für diese Links finden sich in einer der Bemerkungen, die am Rand mit einem L gekennzeichnet sind. Wählt man eine solche Verbindung, überspringt man Inhalte, die ausführlich schon in der Sekundarstufe I behandelt worden sind und deren intensive Wiederholung nicht unbedingt notwendig ist.

Einzelne Inhaltsknoten eines Themas haben eine Verbindung zu einem Übungsknoten, der in der Abbildung 4.1 unterhalb des Knotens ”Übungen“ steht. Es gibt zwar auch Inhaltsknoten mit Übungsaufgaben. Die Aufgaben dort dienen aber entweder zur Erarbeitung neuer Inhalte oder werden zur unmittelbaren Förderung des exakten Verständnisses eines neuen Begriffs angeboten. Zum Beispiel folgen auf die Definition der ganzrationalen Funktionen Aufgaben, bei denen für verschiedene Funktionsterme entschieden werden muß, ob sie zu ganzrationalen Funktionen gehören oder nicht. In den Übungsknoten findet sich eine Sammlung weiterer Aufgaben.

4.2.2.2 Die Baumstruktur

Während die lineare Struktur der Inhaltsknoten Hilfe bei der Planung der Reihenfolge liefert, in der die Unterrichtsinhalte durchgenommen werden sollen, dient die darüberliegende Baumstruktur dazu, die Suche nach Inhalten zu unterstützen. Da alle Knoten dort Menüs enthalten, werden sie mit ”Menüknoten“ bezeichnet.

Wählt man aus dem Startmenü das Thema ” Funktionen“ aus, so erscheint auf dem Bildschirm ein Menü mit folgenden Auswahlmöglichkeiten:

• Hintergründe zum Funktionsbegriff

(Wozu braucht man Funktionen?, Historische Entwicklung des Funktionsbegriffs)

• Funktionsbegriff

(Reelle Zahlen, Definition, Darstellungsweisen)

• Funktionstypen

(Lineare Funktionen, Ganzrationale Funktionen, Gebrochenrationale Funktionen, Trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Wurzelfunktionen)

• Eigenschaften von Funktionen (Nullstellen, Monotonie, Beschränktheit, Stetigkeit, Grenzwertverhalten, Umkehrbarkeit, Symmetrie, Extrempunkte, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen)

• Operationen mit Funktionen

(Abbilden von Funktionsgraphen, Verknüpfen von Funktionen)

• Zusammenstellung einzelner Funktionen und ihrer Eigenschaften

(Funktionenkataloge)

• Übungen zum Kapitel Funktionen

(Abbilden von Funktionsgraphen, Funktionsbegriff, Grenzwerte, ...)

Das Anklicken einer dieser Möglichkeiten führt wiederum zu einem Menü, allerdings auf einer Stufe im Baum tiefer. Dort hat man jeweils die Wahl zwischen den Begriffen, die in der obigen Aufzählung in den Klammern stehen.

Im Unterschied zu den Folgen ist das Kapitel Funktionen nicht in Abschnitte unterteilt, die hintereinander folgen und zu denen jeweils ein Menü gehört. Für den Bereich der Funktionen wurden vielmehr alle in den Schulbüchern gefundenen Begriffe und Inhalte, nach denen ein Lehrer oder eine Lehrerin suchen könnte, sinnvoll in Gruppen eingeteilt, d.h. in Gruppen, zu denen sich ein Oberbegriff finden ließ. Aus jeder der Gruppen wurde ein Menü. Durch diese Art der Menüstruktur kann es durchaus sein, daß man auf mehreren unterschiedlichen Wegen durch die Menüs zu ein und demselben Inhaltsknoten gelangt. Beispielsweise gehören die Knoten über die ganzrationalen Funktionen nicht nur zum Menü ”Funktionstypen“, sondern auch zum Menü ”Eigenschaften von Funktionen“, da die verschiedenen Eigenschaften anhand ganzrationaler Funktionen betrachtet werden.

4.2.2.3 Weitere Links

Zusätzlich zu den Links, die in der Abbildung 4.1 angedeutet und oben beschrieben wurden, gibt es in den Inhaltsknoten an geeigneten Stellen weitere Hinweise zu anderen Knoten. Sie haben weder etwas mit der inhaltlichen Reihenfolge noch mit der Suche über die Menüs zu tun. Sie ermöglichen den Sprung zu Knoten, die in irgendeiner Weise etwas mit dem zu tun haben, was man gerade betrachtet.

Durch sie kann man die Knoten, die man mit dem gerade Gelesenen assoziiert, sofort auf den Bildschirm bringen. Zum Beispiel findet man bei der Betrachtung von Grenzwerten bei Funktionen einen Hinweis auf dieses Thema im Kapitel über Folgen, wodurch man auf einfache Weise das Vorgehen in den beiden Kapiteln vergleichen und dadurch Zusammenhänge herstellen kann.

4.2.3 Betrachtung ausgewählter Knoten

In diesem Abschnitt beschreiben wir beispielhaft drei Knoten aus der Datenbasis zum Thema ”Funktionen“, und zwar einen Menüknoten, einen Inhaltsknoten und einen Übungsknoten. Es wird gezeigt, wie unsere Überlegungen aus dem zweiten Kapitel in unserer Datenbasis realisiert worden sind.

4.2.3.1 Ein Menüknoten

Die Abbildung 4.2 zeigt den Menüknoten ”Funktionstypen“. Er ist ein Beispiel eines Knotens aus der Baumstruktur, die dem Benutzer und der Benutzerin bei der Suche helfen soll.

Wie alle Menü- und Inhaltsknoten beginnt der Knoten mit einer Titelleiste, die zur besseren Orientierung angibt, ob man im Kapitel über Funktionen oder Folgen ist und wo man sich in den einzelnen Kapiteln befindet. Da sich die Unterthemen im Kapitel ” Funktionen“ teilweise überschneiden und sich dieses Kapitel somit nicht in aufeinanderfolgende Abschnitte einteilen läßt, ist in der Titelleiste ein Thema angegeben, um das es hauptsächlich geht. Dies hat vor allem für die Inhaltsknoten Bedeutung, weil es dort Knoten gibt, in denen z.B. die Betrachtung von Nullstellen mit der Hilfe von ganzrationalen Funktionen eingeführt wird. Es steht dann nicht ” Abschnitt: Ganzrationale Funktionen“, sondern ” Thema: Nullstellen“ in der Titelleiste, auch wenn der Knoten im inhaltlichen Vorgehen im Bereich der ganzrationalen Funktionen zu finden ist.

In dem Menüknoten sind alle Funktionstypen, die in der Datenbasis behandelt werden, aufgeführt. Durch ein einfaches Anklicken eines Typs gelangt man sofort zu einem Inhaltsknoten, in dem der Funktionstyp behandelt wird. Die Namen der Buttons sind nach Möglichkeit so gewählt, daß man sofort weiß, worum es in dem zugehörigen Knoten geht. In manchen Menüknoten werden zusätzlich zu dem Buttonnamen noch weitere Informationen gegeben, damit man genau abschätzen kann, was einen erwartet, wenn man den Button bedient.

KAPITEL 4. ”FUNKTIONEN“ IN HYTEX 108

Kapitel: Funktionen Thema: Funktionstypen

Funktionstypen

•

Lineare Funktionen •

Ganzrationale Funktionen •

Gebrochenrationale Funktionen •

Trigonometrische Funktionen •

Exponentialfunktionen •

Logarithmusfunktionen • Wurzelfunktionen

Funktionenmenü

Abbildung 4.2: Der Menüknoten ”Funktionstypen“

4.2.3.2 Ein Inhaltsknoten Ein Beispiel für einen Inhaltsknoten zeigt die Abbildung 4.3. In ihm werden der Funktionsbegriff und die Begriffe, die unmittelbar zu diesem gehören, exakt in einer Definition erfaßt. Anschließend werden sie anhand des im roten Faden vorangegangenen Beispiels noch einmal verdeutlicht.

Kapitel: Funktionen Thema: Funktionsbegriff

Definition des Funktionsbegriffs

L Nach der formalen Definition einer Funktion kann man noch einmal das Einführungsbeispiel aufgreifen und versuchen, die formal definierten Begriffe dort wiederzufinden.

Definition: Funktion

Unter einer Funktion f versteht man eine eindeutige Zuordnung. Dabei wird jedem Element x einer Menge D_{f} genau ein Element y zugeordnet. D_{f} wird Definitionsmenge der Funktion f genannt. W_{f} bezeichnet die Wertemenge der Funktion f und umfaßt alle den x-Werten zugeordneten y-Werte.

Im Einführungsbeispiel konnte mit Hilfe der Gleichung y = 0, 009 · x^{2} zu jeder Geschwindigkeit x die Länge y des Bremsweges eindeutig bestimmt werden. Die eindeutige Zuordnung x ⟼ y ist daher eine Funktion. Dabei ist 0, 009 · x^{2} der Funktionsterm, y = 0, 009 · x^{2} die Funktionsgleichung und x ↦ 0, 009 · x^{2} die Zuordnungsvorschrift. Für x waren nur positive Zahlen bis 130 zugelassen (die Höchstgeschwindigkeit von 130 km/h sollte nicht überschritten werden). Das bedeutet, daß die Definitionsmenge der Funktion {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 130} ist. Die Wertemenge ist {y ∈ R|0 ≤ y ≤ 152, 1}.

Neben f werden häufig die Buchstaben g und h als Kurzbezeichnung für Funktionen gewählt. Den Funktionsterm bezeichnet man mit f(x) bzw. g(x) bzw. h(x). Je nachdem, was man bei einer Funktion untersucht, kann man sich die günstigste Darstellungsweise wählen.

weiter

L Im folgenden soll zunächst der Funktionsbegriff gefestigt werden. Danach wird auf die linearen Funktionen eingegangen. Möchte man den Stoff, der eigentlich schon in der Sekundarstufe I behandelt worden ist, nicht wiederholen, so kann man direkt zu den ganzrationalen Funktionen̈ ubergehen.

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Abbildung 4.3: Der Inhaltsknoten ”Definition des Funktionsbegriffs“

Wie der Menüknoten enthält dieser Inhaltsknoten eine Titelleiste mit Angaben über das Kapitel und das hauptsächlich behandelte Thema. Es folgt die Überschrift ” Definition des Funktionsbegriffs“, die genauere Auskunft darüber gibt, wovon der Knoten handelt. Titelleiste und Überschrift findet man nur auf der ersten Bildschirmseite eines Knotens. Was in der Abbildung 4.3 wie eine Seite aussieht, sind in HYTEX zwei Seiten. Mit dem Button ”weiter“ am Ende der ersten gelangt man zur zweiten Seite.

Durch ein ”L“ am linken Seitenrand ist der auf die Überschrift folgende Text gekennzeichnet. Er enthält Informationen, die speziell für die Lehrerin oder den Lehrer bei der Planung des Unterrichts interessant sind, die aber in den Unterrichtsstoff selber keinen Eingang finden. Sie sind – wie in Kapitel 2 bereits erwähnt – kleiner gedruckt, damit man sie leichter überlesen kann, wenn man glaubt, sie nicht mehr zu brauchen. Ähnlich ist es am Schluß des Knotens. Dort hat man die Möglichkeit, einen Bereich des roten Fadens zu überspringen, in diesem Fall die linearen Funktionen.

Im doppelt eingerahmten Kasten steht die eigentliche Definition. Ihr geht ”Definition: Funktion“ voran. Dadurch weiß man sofort, was der folgende Text ist, und worum es im folgenden Text geht. Auch der Doppelrahmen zeigt auf den ersten Blick, daß es sich um eine Definition oder einen Satz handelt. Diese Texte eignen sich zur Mitnahme in den Unterricht.

Der darauffolgende Text beinhaltet ebenfalls Informationen über den folgenden Unterrichtsstoff. Er ist allerdings nicht als Tafelanschrieb oder Hefteintrag geeignet, sondern die Inhalte dort können in einem Unterrichtsgespräch o.ä. erarbeitet werden. Da sich dieser Text auf das vorangegangene Einführungsbeispiel bezieht, steht ein Button bereit, mit dem man die Möglichkeit hat, sich dieses Beispiel noch einmal anzuschauen.

Den Schluß des Knotens bildet die Leiste mit den Standardknöpfen. Falls man den Knoten nicht schon vorher verlassen hat, kann man sich endgültig an dieser Stelle entscheiden, wie man weiter vorgehen möchte.

4.2.3.3 Ein Übungsknoten

Die Abbildung 4.4 zeigt einen Übungsknoten. Wie beschrieben sind die Übungsknoten nicht Teil des roten Fadens, sondern können von einigen Inhaltsknoten oder von dem zu den Übungen gehörenden Menü aus erreicht werden. Da sich die Aufgaben des abgebildeten Knotens auf die Stetigkeit beziehen, kann man ihn von den Inhaltsknoten zur Stetigkeit anwählen.

1. Stellen Sie die Funktionen

f : x ↦ \frac{x^{2} − 4}{x + 2} und g : x ↦ \{ \begin{matrix}x − 2 falls & x ≠ −2 \\ 1 falls & x = −2 \end{matrix}

graphisch dar.

Begründen Sie anhand der Graphen:

f ist eine stetige Funktion, g ist eine unstetige Funktion.

2. Geben Sie zu jeder der folgenden Eigenschaften eine Zuordnungsvorschrift für eine reelle Funktion f an.

a) f ist an der Stelle -1 unstetig.

b) Der Graph von f kann an der Stelle 0 nicht durchgezeichnet werden, f ist aber stetig.

c) f ist an den Stellen -2 und 2 unstetig.

d) f ist im ganzen Definitionsbereich stetig, es gibt aber unendlich viele Sprungstellen.

3. Zeigen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze, daß die Funktion f an der Stelle a (a beliebig aus der Definitionsmenge von f) stetig ist.

{a) f(x) = 3x^{2} + 4x + 5 \atop c) f(x) = (7x^{2} −1)·(4x+2)}  {b) f(x) = \frac{1}{4}x^{3} − 4x + 1 \atop d) f(x) = \frac{x^{2}−2x+1}{(x−7)·(x+3)}}

Menü

Abbildung 4.4: Der Übungsknoten ”Stetigkeit“

Der Übungsknoten enthält im Unterschied zu den vorgestellten Menü- und Inhaltsknoten keine Kopfzeile mit Titelleiste und Überschrift. Wir entschieden uns dafür vor dem Hintergrund, daß es in HYTEX für den Benutzer oder die Benutzerin praktisch nicht möglich ist, einen Knoten eigenhändig zu verändern. Da ein Übungsknoten als Übungsblatt mit in den Unterricht genommen werden kann, würden die Angaben am Anfang lediglich stören. Nicht vermeiden ließen sich die Buttons ” weiter“, ” zurück“ bei mehrseitigen Übungsknoten und der Button ”Menü“, mit denen man den Knoten wieder verlassen kann. Da die einzelnen Übungsknoten – wie bei der Stetigkeit – unter Umständen von verschiedenen Inhaltsknoten aus aufgerufen werden können, gibt es keinen Button, um wieder in die Inhalte zurückzukehren. Dazu muß man gegebenenfalls die ”Return“-Funktion benutzen, die von HYTEX angeboten wird.

4.2.4 Die PASCAL - Programme

Für den Hypertext zum Thema ”Funktionen“ schrieben wir acht PASCAL-Programme, die durch das Anklicken eines Buttons aufgerufen werden können. Sie sind zur Mitnahme in den Unterricht gedacht und sollen andeuten, wie ein Hypertext durch die multimediale Präsentation der Inhalte das Lehren und Lernen unterstützen kann.

Zwei der Programme gehören zum Thema Symmetrieeigenschaften. Sie sind von dem letzten Inhaltsknoten vor der formalen Fassung der Achsen- bzw. Punktsymmetrie aus aktivierbar.

Hinter dem Button ”Achsensymmetrie“ verbirgt sich ein Programm, das achsensymmetrische Eigenschaften bezüglich der y-Achse am Beispiel der Funktion f : x ↦ x^{2} verdeutlicht. Dazu erscheint zunächst der Graph der Funktion auf dem Bildschirm. Hat man einen Computeraufsatz für den Overhead-Projektor, so kann man das Bild an die Wand des Klassenraums werfen. In der rechten unteren Ecke ist für den Benutzer oder die Benutzerin angegeben, wie man das Programm bedient. Man kann beliebige x-Werte eingeben, die in der linken oberen Ecke angezeigt werden. Als Komma muß man dabei den Punkt verwenden. An der eingegebenen Stelle x und der dazugehörigen Stelle −x werden nach Drücken der Return-Taste die jeweiligen y-Achsenabschnitte eingezeichnet und mit f(x) bzw. f(−x) bezeichnet. Schließlich kann man erkennen, daß – egal welcher x-Wert eingegeben wurde – immer f(x) = f(−x) gilt.

Analog funktioniert das Programm, das durch den Button ”Punktsymmetrie“ aktivierbar ist. Dort wird die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung anhand der Funktion f : x ↦ x^{3} gezeigt. Man gelangt zu dem Schluß, daß immer f(x) = −f(−x) gelten muß.

Die Buttons für die anderen sechs Programme findet man in den beiden Funktionenkatalogen, und zwar bei den Funktionen f : x ↦ x^{2}, g : x ↦ x^{3}, h : x ↦ |x|, k : x ↦ sin(x), l : x ↦ exp(x) und m : x ↦ log(x). Zunächst stellen die Programme die Funktionen graphisch dar. Wenn man möchte, kann man daraufhin durch Betätigen der Taste ” t“ eine akustische Darstellung der Funktion aktivieren. Dabei wird – wie bei den Folgen – jedem x-Wert eine Tonhöhe in Abhängigkeit von der Größe des zugehörigen Funktionswertes zugeordnet. Der Bereich der Tonfrequenzen ist so gewählt, daß die Töne gut hörbar sind. Die akustische Darstellung beginnt bei einem x-Wert am linken Rand des sichtbaren Teils der x-Achse und geht in kleinen Schritten in Richtung der positiven x-Achse weiter. Gleichzeitig wird der Funktionsgraph an der entsprechenden Stelle mit einer anderen Farbe nachgezeichnet. Neben dem Ansprechen des akustischen Wahrnehmungssinns wird hier der Veränderlichenaspekt von Funktionen betont, d.h. die Zahlen aus der Wertemenge werden nicht gleichzeitig, sondern nacheinander betrachtet.

Ausgewählt wurden die oben genannten sechs Funktionen, weil bei ihnen akustisch Besonderheiten deutlich werden. Außerdem sind diese Funktionen stetig. Die Funktion f : x ↦ \frac{1}{x} ließe sich zum Beispiel an der Stelle 0 nicht gut mit Tönen darstellen.

Vergleicht man die Funktionen f : x ↦ x^{2} und h : x ↦ |x| an der Stelle 0, so kann man hören, daß diese beiden Funktionen sich dort unterschiedlich verhalten, was nützlich ist, um zu begründen, daß die Betragsfunktion bei 0 nicht differenzierbar ist. Ebenfalls mit Blick auf die Differentialrechnung kann man bei der Funktion g : x ↦ x^{3} das Verhalten an einem Sattelpunkt zeigen.

Das Besondere an der Sinusfunktion ist ihre Periodizität, die auch durch das ständige Wiederkehren der gleichen Tonfolge deutlich wird.

Besonders eindrucksvoll war für uns die akustische Darstellung der Exponentialfunktion l : x ↦ exp(x), weil die Eigenschaft des exponentiellen Wachstums so deutlich hervortrat. Man hört, wie die Funktionswerte immer schneller wachsen. Im Unterschied dazu zeigt die Logarithmusfunktion als zugehörige Umkehrfunktion das umgekehrte Verhalten. Die Funktionswerte wachsen immer langsamer.

Vielleicht hat die akustische Darstellung von Funktionen auch bei Schülerinnen und Schülern den Effekt, daß ihnen Funktionseigenschaften besser deutlich werden und im Gedächtnis bleiben. Empirische Untersuchungen sind notwendig, um darüber genauere Aussagen machen zu können.

Einige Worte zum Schluß

Ruth Dietzel

Ziel unserer Arbeit war ein Hypertext, der Lehrerinnen und Lehrer bei ihrer Unterrichtsvor- und -nachbereitung unterstützt. Mit Hilfe des Hypertextsystems HYTEX erstellten wir deshalb einen Hypertext zu den Themen “Folgen” und “Funktionen” aus dem Bereich des Vorkurses zur Analysis.

Dabei bemerkten wir, daß ein Hypertext viele Vorzüge aufweist, die ihn für die Unterrichtsvor- und -nachbereitung nützlich machen. Zunächst ist hier die Unterstützung der assoziativen Suche nach Informationen zu nennen. Darüber hinaus lassen sich mit einem Hypertext beliebige Inhaltsstrukturen darstellen, wodurch die Vernetzung des Wissens deutlich und nutzbar gemacht wird. Und schließlich bietet der multimediale Aspekt von Hypertext neue Möglichkeiten im Bereich der Unterrichtsmaterialien.

Wir versuchten diese drei Vorteile von Hypertext – Unterstützung der assoziativen Suche, Vernetzung und Multimedia – durch unseren Text zu zeigen. Aus zwei Gründen kann unser Hypertext jedoch nur einen ersten Einblick in die Thematik “Hypertext für Lehrerinnen und Lehrer” geben.

Der erste Grund liegt darin, daß die Erstellung einer hypermedialen Datenbasis einen großen Aufwand, vor allem einen großen Zeitaufwand, benötigt, weshalb unsere Datenbasis an vielen Stellen noch erweiterbar ist. Man könnte sich zum Beispiel vorstellen, neben mathematischer Fachliteratur, mit deren Hilfe mathematische Hintergründe wieder ins Gedächtnis gerufen werden könnten, auch pädagogische und didaktische Literatur in den Hypertext zu integrieren. So könnte sich der Lehrer bzw. die Lehrerin Anregungen zu Sozialformen des Unterrichts holen oder sich über Vor- und Nachteile verschiedener didaktischer Vorgehensweisen informieren. Im Hinblick auf die Darstellungen von mathematik-historischen Hintergründen in unserem Hypertext wäre außerdem die Einbindung von multimedial gestalteten Biographien der genannten Mathematiker denkbar. Im Bereich von Multimedia könnte man darüber hinaus zu unseren PASCAL-Programmen weitere Programme anbieten, beispielsweise ein “Funktionenmikroskop”, mit dessen Hilfe Funktionsgraphen an einzelnen Stellen beliebig groß “gezoomt” werden könnten.

Um die Möglichkeiten eines Hypertextes voll auszunutzen, wäre es vielleicht interessant, einmal ein einzelnes Thema mit geringem Umfang für einen multimedialen Hypertext zu bearbeiten.

Ein zweiter Grund dafür, daß unser Hypertext nicht alle Vorteile des Konzeptes beinhaltet, liegt in dem verwendeten Hypertextsystem. Gerade weil es so aufwendig ist, einen Hypertext zu schreiben, ist es wichtig, daß ein solcher Text durch den Benutzer bzw. die Benutzerin eigenständig erweiterbar ist. Die Lehrerinnen und Lehrer könnten dann für sie wichtige Texte selber einbinden und aus den gegebenen Materialien direkt im Hypertextsystem Klausuren und Übungsblätter zusammenstellen oder die gegebenen Unterrichtsvorschläge nach ihren Wünschen verändern.

Damit diese Erweiterungen jedoch von den Lehrerinnen und Lehrern eigenständig vorgenommen werden können, ist ein extrem benutzerfreundliches System notwendig, das vielleicht erst noch erfunden werden muß. Es müßte einen Scanner für neue Materialien unterstützen, auf einzelne Ausschnitte der Knotenseiten müßte man – wie bei MS Winword – direkt mit der Maus zugreifen, Textteile markieren und umkopieren können. Teile des Hypertextes müßten zudem einfach ausdruckbar sein. Und auch die Links müßten direkt im Hypertext mit Hilfe der Maus definierbar sein.

Darüber hinaus gibt es sicher noch weitere Anforderungen an ein Hypertextsystem für Lehrerinnen und Lehrer, die die Anwendungen in der Zukunft zeigen müssen. Vielleicht kann unser Hypertext zu diesen Überlegungen beitragen.

Abbildungsverzeichnis

1.1 Netzstruktur eines Hypertextes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Bücherrad, A. Ramelli, 1588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Inhaltsverzeichnis und Baum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Das Load-Fenster von HYTEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Das Notiz-Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Das Utilitie-Menü von HYTEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Die Baumstruktur der Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Übungen und ’roter Faden‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 Die Menuestruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.8 Der ’roter Faden‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.9 Standardknöpfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1 Beispielaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Die Folgenmenuestruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Der Knoten: Der Grenzwertbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Der Knoten: Resümee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5 Die Flußdiagramme (Folgen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1 Die Netzstruktur der Datenbasis zu ”Funktionen“ . . . . . . . . . 104 4.2 Der Menüknoten ”Funktionstypen“ . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3 Der Inhaltsknoten ”Definition des Funktionsbegriffs“ . . . . . . . 109 4.4 Der Übungsknoten ”Stetigkeit“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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[Woeste 1995] Norbert Woeste:

Die Problemlöseumgebung PAN unter MS Windows. Diplomarbeit im Fachbereich Mathematik-Informatik der Uni-GH Paderborn, Nov. 1995 Ich versichere, daß ich die Hausarbeit (bzw. die von mir erstellten Teile der Gruppenarbeit (Einleitung, Kapitel 1, Kapitel 4, Schluß der schriftlichen Ausarbeitung; Hypertext über Funktionen und die dazugehörigen Übungen und Programme)) einschließlich evtl. beigefügter Zeichnungen, Kartenskizzen und Darstellungen selbständig angefertigt und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Alle Stellen, die dem Wortlaut oder dem Sinne nach anderen Werken entnommen sind, habe ich in jedem einzelnen Falle unter genauer Angabe der Quelle deutlich als Entlehnung kenntlich gemacht.

Ich versichere, daß ich die Hausarbeit (bzw. die von mir erstellten Teile der Gruppenarbeit (Kapitel 2, Kapitel 3 der schriftlichen Ausarbeitung; Hypertext über Folgen und die dazugehörigen Übungen und Programme, Anleitung zum Hypertext in Hypertextform)) einschließlich evtl. beigefügter Zeichnungen, Kartenskizzen und Darstellungen selbständig angefertigt und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Alle Stellen, die dem Wortlaut oder dem Sinne nach anderen Werken entnommen sind, habe ich in jedem einzelnen Falle unter genauer Angabe der Quelle deutlich als Entlehnung kenntlich gemacht.