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FAQ - Frequently Asked Questions zur Theoretischen Informatik I

  1. Warum gilt die Gleichung: 2ø={Ø}?
  2. Mit welchen Methoden kann die Nicht-Regularität von Sprachen bewiesen werden?
  3. Warum ist L+=ø für L = {epsilon}?
  4. Wie lautet die Churchsche These? Was folgt daraus?
  5. Kann eine nichtreguläre (weder links- noch rechtslineare) Grammatik eine reguläre Sprache erzeugen?
  6. Was sind die Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen rechts- und linkslinearen Grammatiken?
  7. Was ist Diagonalisierung?
  8. Warum ist die Primzahlzwilling-Funktion f: N->{0,1} berechenbar?
  9. Kann es verschiedenen minimale Automaten für ein Problem geben?
  10. Was bedeuten die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv?
  11. Gegen welche Operationen sind reguläre Mengen abgeschlossen?
  12. Wann ist eine Menge abzählbar?
  13. Warum gilt für Sprachen L1, L2, L3 die Beziehung (L1 . L2) . L3 = L1 . (L2 . L3)?
  14. Wann ist eine Menge/ein Problem entscheidbar?
  15. Sei A ein endlicher Automat. Ist L(A) = Ø entscheidbar?
  16. Wie beweise ich für zwei Mengen A und B, daß A = B gilt?
  17. Was ist eine partielle Funktion?
  18. Warum ist eine Menge von Wörtern, die mit der leeren Menge konkateniert wird, die leere Menge?
  19. Gibt es ein Verfahren zur eindeutigen Bestimmung, ob eine Sprache regulär ist?
  20. Ist entscheidbar, ob die von einem endlichen Automaten akzeptierte Sprache unendlich ist?
  21. Was ist eine Grammatik?
  22. Gibt es Grammatiken die sowohl links- als auch rechtslinear ist?
  23. Wie wird ein indirekter Beweis durchgeführt?
  24. Wieviele endliche deterministische Automaten mit n Zuständen gibt es?
  25. Was ist die Backus-Naur-Form?
  26. Wann stoppt ein endlicher deterministischer Akzeptor seine Berechnung?
  27. Enthält jede unendliche Sprache das leere Wort?
  28. Ist jede Teilmenge der Menge X* eine reguläre Sprache?
  29. Wie lautet (bezüglich der Inklusion) die kleinste und die größte reguläre Sprache über X?
  30. Was ist eine totale Funktion und wie ensteht sie aus einer partiellen Funktion?
  31. Was besagt der Satz von Rice?
  32. Was sind Ableitungsbäume?
  33. Warum kann die in der Vorlesung vorgestellte abstrakte Maschine alle Funktionen, auch nicht-berechenbare, in einem Schritt berechnen?
  34. Ist die Vereinigung zweier linkslinearer Sprachen wieder linkslinear?
  35. Wie kann man aus einem nichtdeterministischen endlichen Automaten A einen äquivalenten deterministischen endlichen Automaten A' mit L(A)=L(A') konstruieren?
  36. Was ist ein Palindrom?
  37. Wie beschreibt man einen deterministischen endlichen Akzeptor?
  38. Was ist eine reguläre Sprache?
  39. Was sind Epsilon-Übergänge?
  40. Was bedeuten die Begriffe "Wort", "Alphabet", "Sprache"?
  41. Was besagt die Churchsche These?
  42. Wie bestimme ich zu einer rechtslinearen Grammatik in Normalform einen endlichen Akzeptor?
  43. Was ist ein regulärer Ausdruck?
  44. Wieviele Zustände hat ein minimaler deterministischer endlicher Automat (DFA)?
  45. Ist entscheidbar ob zwei endliche Automaten äquivalent sind, d.h. die gleiche Sprache akzeptieren (sog. Äquivalenzproblem)?
  46. Wann heißen eine Grammatik G und eine Sprache L mehrdeutig?
  47. Welche Beschreibungsmöglichkeiten gibt es, um eine reguläre Sprache zu definieren?
  48. Wie beschreibt man einen nicht-deterministischen endlichen Akzeptor?
  49. Was ist die Chomsky-Hierarchie?
  50. Wann sind zwei Grammatiken äquivalent?
  51. Was ist eine kontextsensitive Grammatik?
  52. Wann akzeptiert ein endlicher, nichtdeterministischer, vollständiger Akzeptor A ein Wort w aus L(A)?
  53. Können zwei verschiedene Grammatiken die gleiche Sprache erzeugen?
  54. Wie geht man vor, wenn man einen nichtdeterministischen Akzeptor mit Hilfe einer imperativen Programmiersprache (z.B. C) implementieren möchte?
  55. Was ist die Chomsky-Normalform?
  56. Was sind rekursive Grammatiken?
  57. Was ist ein Automatenmorphismus?
  58. Welche Abschlusseigenschafen hat DA?
  59. Was ist das Selbstanwendungproblem?
  60. Welche Abschlußeigenschaften erfüllt die Klasse der kontextfreien Sprachen?
  61. Woran erkennt man eine kontextfreie Grammatik?
  62. Was ist das Halteproblem?
  63. Wieso sind kontextfreie Sprachen nicht abgeschlossen gegen Durchschnittbildung?
  64. Was sagt das "Wortproblem" aus?
Fragen ohne Link wurden von Ihren Kommilitonen gestellt. Dazu werden noch Antworten gesucht.
Warum gilt die Gleichung: 2ø={Ø}?
Mit 2M bezeichnen wir die Potenzmenge der Menge M, also die Menge aller Teilmengen von M. Ist nun M die leere Menge, so ist die einzige Teilmenge der leeren Menge die leere Menge selbst. Folglich besteht 2ø nur aus dem Element Ø.
Mit welchen Methoden kann die Nicht-Regularität von Sprachen bewiesen werden?
Mit Hilfe des PUMPING-LEMMA und des STRUKTUR-SATZES VON NERODE. Dabei beschreibt das Pumping-Lemma nur eine notwendige Bedingung für reguläre Sprachen, während der Struktursatz von Nerode außerdem noch eine hinreichende Bedingung für reguläre Sprachen und eine Charakterisierung der Zustandszahl minimaler Automaten enthält.
Warum ist L+=ø für L = {epsilon}?
L+ ist definiert als L* ohne epsilon, also:ÊL+ = L*\{eps}. Für L={epsilon}: {epsilon}*={epsilon}; {epsilon}\epsilon=ø.
Wie lautet die Churchsche These? Was folgt daraus?
Die Klasse der Turing-berechenbaren Funktionen stimmt mit der Klasse der intuitiv berechenbaren Funktionen überein. Die Churchsche These läßt sich nicht beweisen, da sie mit dem Begriff "intuitiv berechenbare Funktion" einen formal nicht definierten Begriff benutzt. Für Fragen der Berechenbarkeit ist die Wahl des Rechnermodells unerheblich, solange es so viel kann wie Turingmaschinen.
Kann eine nichtreguläre (weder links- noch rechtslineare) Grammatik eine reguläre Sprache erzeugen?
Ja, auch wenn eine Grammatik nicht regulär (also weder rechts- noch linkslinear) ist, kann die durch sie erzeugte Sprache regulär sein. Die Regularität einer Grammatik ist also eine hinreichende Bedingung für die Regulärität der von ihr erzeugten Sprache, aber keine notwendige.

Was sind die Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen rechts- und linkslinearen Grammatiken?
Gemeinsamkeiten: Beide Grammatiktypen erzeugen die Klasse der regulären Sprachen, bei beiden wird jeweils nur ein Nonterminalsymbol abgeleitet, und nach der Ableitung taucht auch bei beiden höchstens ein Nonterminalsymbol auf.
Unterschied bei der Bildung der Regeln: Bei rechtslinearen Grammatiken steht das Nonterminalsymbol (wenn eins vorhanden ist) nach der Ableitung ganz rechts im Wort. Bei linkslinearen Grammatiken steht es ganz links.

Was ist Diagonalisierung?
Die Diagonalisierung, oder genauer, das Cantor'sche Diagonalisierungsverfahren (Skript 2.2 Die Existenz nicht-berechenbarer Funktionen -> Satz E), stellt eine indirekte Beweistechnik dar, die in der Informatik gerne und viel benutzt wird, um die Nichtentscheidbarkeit von Problemen (oder Mengen) nachzuweisen. Dazu wird eine (fiktive) Tabelle aller Möglichkeiten erstellt, die dann mit Hilfe einer (geeignet definierten) Funktion zu einem Widerspruch geführt wird. Die Diagonalisierung wird in einer von drei Varianten verwendet, die sich von der Zielrichtung her etwas unterscheiden und sehr gerne miteinander verwechselt werden.
  1. Variante: dient dem Nachweis, daß eine gegebene Menge nicht rekursiv ist,
  2. Variante: zeigt, daß eine gegebene Menge nicht einmal rekursiv aufzählbar ist,
  3. Variante: zeigt, daß nicht alle Funktionen mit einer bestimmten Eigenschaft Element einer als rekursiv aufzählbar bewiesenen Menge sind
Warum ist die Funktion f: N -> {0,1} mit
berechenbar?

Eine Funktion ist genau dann berechenbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der für alle Werte aus dem Definitionsbereich terminiert und den Funktionswert liefert.
Zwei Primzahlen mit dem "Abstand" 2 bilden einen Primzahlzwilling. Beispiele: (3,5), (101, 103). Wieviele solcher Zwillinge existieren ist noch nicht bekannt.
Tatsächlich ist die Anzahl der Primzahlzwillinge für die Beantwortung dieser Frage nicht von Bedeutung. Offensichtlich hängt der Funktionswert von f nicht von seinem Argument ab. Es sind zwei Fälle zu unterscheiden: Entweder gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge, oder nur endlich viele. Für beide Fälle läßt sich ein Algorithmus angeben: Die Konstante 1 oder die Konstante 0. Da einer der beiden Fälle vorliegt, ist die Funktion berechenbar.
Nun könnte man einwenden, daß es Aufgabe der Funktion sei herauszufinden, welcher der beiden Möglichkeiten der Fall ist. Ersetzt man den Satz "falls es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt" durch ein nüchternes A (für eine wahre oder falsche Aussage) so wird die Beantwortung dieser Frage intuitiver, obwohl sie sich nicht verändert hat. Wahrscheinlich besteht die Tücke dieser Aufgabe darin, daß sie im Umfeld von Automaten und anderen Methoden zur Formulierung von Algorithmen gestellt wurde. Das führt dazu, daß bei jedem Problem an dessen maschinelle Lösbarkeit (bzw. Entscheidbarkeit) gedacht wird, auch wenn danach gar nicht gefragt war. 


Kann es verschiedene minimale endliche Akzeptoren für eine reguläre Sprache geben?
Nein, nach dem Struktursatz von Nerode sind die minimalen Automaten (bis auf Isomorphie) gleich. Jeder Zustand repräsentiert eine Äquivalenzklasse der Nerode-Relation.
Was bedeuten die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv?
Sei f : X -> Y eine Abbildung, mit der Urbildmenge X und der Bildmenge Y.
f ist surjektiv, wenn für alle Elemente y aus Y ein Element x aus X existiert mit f(x) = y.
f ist injektiv, wenn für alle Elemente x1, x2 aus X gilt. f(x1) = f(x2) => x1=x2.
f ist bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist.
Gegen welche Operationen sind reguläre Mengen abgeschlossen?
Die regulären Mengen sind abgeschlossen gegen Vereinigung, Kleenescher Hüllenbildung (*-Bildung), Konkatenation und Durchschnittbildung. Weiterhin ist die Klasse der regulären Mengen abgeschlossen gegen Komplementbildung, Substitution mit regulären Sprachen, Homomorphismus und inversem Homomorphismus sowie unter Quotientenbildung mit beliebigen Mengen.

Wann ist eine Menge abzählbar?
Eine Menge A heißt abzählbar, falls es eine bijektive Funktion f : N -> A gibt oder - was gleichbedeutend ist - falls es eine bijektive Funktion f : A -> N gibt.

Warum gilt für Sprachen L1, L2, L3 die Beziehung (L1 . L2) . L3 = L1 . (L2 . L3)?
Die Konkatenation . ist eine assoziative Operation.

Wann ist eine Menge/ein Problem entscheidbar?
Sei X eine Menge. Eine Teilmenge M heißt entscheidbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der für beliebiges x aus X feststellt, ob x zu M gehört oder nicht. Der Algorithmus liefert also nur die Antworten "ja" (meint x in M) oder "nein" (meint x nicht in M).
Wenn man von entscheidbaren Problemen spricht, so wandelt man das Problem zunächst so um, daß eine Menge entsteht, die alle positiven Fragestellungen des Problems enthält, also die Fragestellungen, bei denen der Algorithmus "ja" liefert. Das Problem heißt dann entscheidbar, wenn die zugehörige Menge entscheidbar ist.
Beispiel: Das Primzahlproblem ist entscheidbar. Man wandelt das Problem in eine Mengendarstellung um, indem man die Menge P aller Primzahlen definiert. Diese Menge ist entscheidbar, weil es einen Algorithmus gibt, der für eine beliebige natürliche Zahl n ermittelt, ob n zu P gehört oder nicht.

Sei A ein endlicher Akzeptor. Ist L(A) = Ø entscheidbar (sog. Leerheitsproblem für endl. Akzeptoren)?
Ja, das Leerheitsproblem für endliche Akzeptoren ist entscheidbar. Sei A ein endlicher Akzeptor. Um festzustellen, ob L(A) = Ø ist, eliminiert man alle Zustände, welche vom Startzustand aus nicht erreichbar sind. Enthält der Automat danach noch Endzustände, so ist L(A) nicht leer.
Wie beweise ich für zwei Mengen A und B, daß A = B gilt?
Die Mengengleichheit von A und B ist zu beweisen, indem ich sowohl zeige, daß gilt:
  1. A ist Teilmenge von B, sowie
  2. B ist Teilmenge von A.
(1) ist erfüllt, wenn ich für jedes beliebige Element  a aus A zeigen kann, daß es in B liegt (und somit für alle Elemente aus A gilt, daß sie auch in B liegen), und für (2) ist zu zeigen, daß für jedes beliebige b aus B gilt, daß es auch in A liegt (somit gilt für alle Elemente aus B, daß sie auch in A liegen). Wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, erfüllt sowohl A das Kriterium, eine Teilmenge von B zu sein, als auch B das Kriterium, eine Teilmenge von A zu sein, und somit folgt: A = B.

Was ist eine partielle Funktion?
Als partielle Funktion f: M->K wird eine Funktion bezeichnet, der nicht für jedes x aus M ein y aus K zugeordnet werden kann. Für diese x existiert also kein Bild in der Menge K. Als Beispiel kann hier die Tangens-Funktion
herangezogen werden, bei der die Funktion für alle x mit x = 90+k*180 (k aus N) nicht definiert ist, da hier eine Division durch Null auftritt.
Als Definitionsbereich (auch DOMAIN genannt) einer partiellen Funktion wird die Menge der x aus M bezeichnet, für die es ein Bild y aus K gibt (f(x) existiert).
Als Wertebereich (oder RANGE) wird die Menge der y aus K angesehen, die als Bild von mindestens einem x aus M auftreten (also f(x)=y).

Warum ist eine Menge von Wörtern, die mit der leeren Menge konkateniert wird, die leere Menge?
Für die Konkatenation . zweier Mengen A, B gilt: A.B = {u.v | u aus A und v aus B}.
Wenn man nun eine beliebige Menge A mit der leeren Menge konkateniert, ergibt dies folgendes: A.Ø = {u.v | u aus A und v aus Ø}. Da in der leeren Menge jedoch keine Elemente enthalten sind, existiert kein v, weshalb es keine Wörter u.v gibt, die in A.Ø liegen.

Ist entscheidbar, ob die von einem endlichen Automaten akzeptierte Sprache unendlich ist?
Ja, das ist entscheidbar. Ein Algorithmus eliminiert in A zunächst alle Zustände, die nicht vom Startzustand erreichbar sind, und alle Zustände, von denen aus kein terminaler Zustand erreicht werden kann. Wenn dann in der graphischen Darstellung von A ein Kreis enthalten ist, so ist die akzeptierte Sprache unendlich.

Was ist eine Grammatik?
Eine Grammatik ist ein Methode zur Erzeugung einer Sprache. Formal ist eine Grammatik ein Quadrupel G={N,T,P,S} aus einer Menge von Nonterminalen (Variablen) N, von Terminalsymbolen T, einer Regelmenge P und einem Startsymbol S. Jede Grammatikregel hat die Form P->Q für irgendeine linke Seite (Prämisse) und rechte Seite (Conclusion) Q. P muß mindestens ein Nonterminalsymbol enthalten, Q nicht. Eine solche Regel ist zu verstehen als Ersetzungsregel. Eine Grammatik erzeugt eine Sprache, sie dient also der Synthese. Das Gegenstück dazu ist der Automat, der Sprachen erkennt, er dient der Analyse. Für eine Grammatik im allgemeinen gibt es nur zwei Einschränkungen: Sie darf nur endlich viele Regeln haben, und jede Regelprämisse muß mindestens ein Nonterminal enthalten. Das Wort kann im Lauf der Ableitung beliebig wachsen und wieder schrumpfen. Wenn man die Form, die die Regeln einer Grammatik annehmen können, beschränkt, erhält man Grammatiktypen und damit auch Sprachtypen von verschiedenen Schwierigkeitsgraden.

Gibt es Grammatiken die sowohl links- als auch rechtslinear ist?
Ja, jede reguläre Grammatik (Typ 3) G=(N,T,P,S), die nur Ableitungsregeln der Form A->B oder A->b mit A,B aus N und b aus T enthält, ist sowohl links- als auch rechtslinear. Mit Grammatiken dieser Form können nur endliche Sprachen beschrieben werden, deren Wörter alle die Länge <=1 haben.

Wie wird ein indirekter Beweis durchgeführt?
Bei einem indirekten Beweis nimmt man an, daß die zu beweisende Behauptung A gerade falsch ist. Man stellt also eine zur eigentlichen Behauptung A gegenteilige Behauptung ¬A auf.
Nun führt man einen korrekten Beweis bezüglich ¬A. Dieser führt jedoch schließlich zu einem Widerspruch. Da aber der Beweis mit korrekten mathematischen Schlußfolgerungen durchgeführt wurde (im Idealfall), muß demzufolge die Annahme, dass ¬A korrekt ist, falsch sein. Nun ist ¬A aber gerade das Gegenteil der Behauptung A. Demzufolge ist A korrekt, womit man A bewiesen hat.
Diese Beweismethode bietet sich bei Thematiken an, welche nur zwei mögliche, und konträre, Behauptungen ergeben. Ein Beispiel ist die Anwendung des Pumping-Lemmas auf Sprachen, die nicht in Reg liegen. Man nimmt an, die Sprachen wären in Reg, wendet dann das unter dieser Annahme geltende Pumping-Lemma an und erhält schließlich einen Widerspruch.
Wieviele endliche deterministische Automaten mit n Zuständen gibt es?
Sei X das Eingabealphabet des Automaten mit |X|=m. Dann gibt es 2n * nn*m endliche deterministische Akzeptoren. Die Faktoren ergeben sich durch folgende Überlegung:
Was ist die Backus-Naur-Form?
Die Backus-Naur-Form ist eine Form, die es ermöglicht, kontextfreie Grammatiken zu verkürzen. Hat man eine kontextfreie Grammatik G=(N,T,P,S) bei der N die nichtleere, endliche Menge nicht-terminaler Symbole, T die nichtleere, endliche Menge von Terminalsymbolen, P die nichtleere endliche Menge an Ableitungsregeln (teilweise auch als Produktionsregeln bezeichnet) und S aus N das Startsymbol ist.
Beispiel:
T = {a,b}, N = {a}, P = { S->aSb, S->eps}
Diese Grammatik beschreibt die folgende Sprache: L(G)={anbn | n ³ 0}.
In der Backus-Naur Form werden mehrere Ableitungsregeln zu einer zusammengefasst:
Die Regeln um die Regeln zusammenzufassen sind: Beispiel: das Beispiel oben, ist hierfür leider nicht zu gebrauchen, da es unverändert bleiben würde.
T={a,b,c,d}, N = {A,B,C,D}, P = {S->ABC, A->a, A->c, B->abc, B->ac, C->bDd, C->bd, D->a, D->Da}
Die beiden A Regeln können zusammengefasst werden: A->a|c
Die beiden B Regeln können zusammengefasst werden: B->a[b]c
Die C und D Regeln können zusammengefasst werden: C->b{a}d
Dann ist P' = {S->ABC, A->a|c, B->a[b]c, C->b{a}d}
Wann stoppt ein endlicher deterministischer Akzeptor seine Berechnung?
Der Akzeptor beendet seine Berechnung, wenn das Eingabewort vollständig gelesen wurde. Dann wird nachgesehen, ob er sich in einem Endzustand befindet und das Eingabewort akzeptiert oder nicht. Durchläuft er vorher bei der Berechnung Endzustände, so hat das keine Auswirkung.

Enthält jede unendliche Sprache das leere Wort?
Nein, ein Gegenbeispiel ist z.B. {ab}+={ab}{ab}*.
Ist jede Teilmenge der Menge X* eine reguläre Sprache?
Nein, innerhalb von X* kann man viele verschiedene Sprachen definieren, z.B. die Sprachen der verschiedenen Stufen der Chomsky-Hierarchie. Nur eine kleine Klasse sind die regulären Sprachen.
Ein konkretes Gegenbeispiel: L(G)={anbn | n ³ 0} ist nicht regulär und liegt in X* mit X={a,b}.
Wie lautet (bezüglich der Inklusion) die kleinste und die größte reguläre Sprache über X?
Die kleinste reguläre Sprache in X* ist die leere Menge und die größte Sprache ist X* selbst.
Was ist eine totale Funktion und wie entsteht sie aus einer partiellen Funktion?
Als totale Funktion f: M->K wird eine Funktion bezeichnet, bei der für alle x aus M ein Bild y aus K definiert ist. Das bedeutet, dass man für jeden Wert x aus M als Eingabe, eine Ausgabe erhält, die ein y aus K ist.
Das Umwandeln einer partiellen Funktion f: M->K in eine totale Funktion g: M->B bezeichnet man als Anreicherung. Hierbei wird für alle diejenigen x aus M, denen kein Bild y aus K zugewiesen wird, ein Spezialsymbol eingeführt, welches dann als Bild dieses x aus M gilt. Dieses Spezialsymbol wird häufig als 'Bottom' bezeichnet. Die totale Funktion g: M->B entsteht also aus f: M->(K vereinigt mit {Bottom}).

Was besagt der Satz von Rice?
Der Satz von Rice besagt anschaulich, daß alle nichttrivialen (nicht einfachen) Eigenschaften von berechenbaren Funktionen und damit von Algorithmen unentscheidbar sind. Als trivial gelten beispielsweise Eigenschaften wie, ob der Algorithmus eine bestimmte Länge hat oder ob er eine bestimmte Zeichenkette enthält. Nichttrivial sind hingegen Eigenschaften, ob er eine bestimmte Ausgabe erzeugt, ob eine bestimmte Anweisung ausgeführt wird etc.
Es ist also so, dass nahezu alle interessanten Eigenschaften über Algorithmen, wie Korrektheit, Terminierung, bestimmtes Verhalten u.ä. unentscheidbar sind.
Dies wird in dem folgenden Satz beschrieben:
Wenn S eine nicht-triviale Menge berechenbarer Funktionen ist, dann ist die Sprache L(s) nicht entscheidbar.
Nichttrivial heißt hier: S ist nicht leer und auch nicht identisch zur Menge der berechenbaren Funktionen.

Was sind Ableitungsbäume?
Um Sprachen zu erzeugen, verwendet man Grammatiken und ihre Produktions- bzw. Ableitungsregeln. Um den Ableitungsprozeß bei kontextfreien Grammatiken mithilfe der Produktionsregeln grafisch darzustellen, benutzen wir Ableitungsbäume.
Jede Ableitung/Ersetzung, jede Erzeugung eines Wortes läßt sich durch einen Ableitungsbaum beschreiben, in dem die Wege die Ableitungsschritte widerspiegeln und in dem das erzeugte Terminalwort an den Blättern von links nach rechts abgelesen werden kann. Zu jedem Ableitungsbaum gehört genau eine Linksableitung.
Warum kann die in der Vorlesung vorgestellte abstrakte Maschine alle Funktionen, auch nicht-berechenbare, in einem Schritt berechnen?
Dieses scheint ein Paradox zu sein, da es - wie bewiesen - unendlich viele algorithmisch unberechenbare Funktionen gibt, aber jede Maschine laut Churchscher These einen Algorithmus beschreibt und damit nur eine berechenbare Funktion beschreibt.
Das scheinbare Paradox ergibt sich aus den Definitionen. Erstens ist eine abstrakte Maschine keine Turingmaschine wie es die Churchsche These verlangt (eine abstrakte Maschine hat zum Beispiel unendlich viele innere Zustände). Spezifisch zu der in der Vorlesung dargestellten abstrakten Maschine: die Zustandsübertragung wurde definiert als:
Tau: IN x IN ---> IN x IN mit Tau (m,n) = (0, f(n))
Hier verbirgt sich der "Trick": Die Maschine kann einfach in einem Schritt jede Funktion berechnen, weil es so in der Zustandsübertragung definiert werden kann. Wie f(n) ermittelt wird, ist nicht beschrieben. Das kann bei einem endlichen Automaten oder einer anderen realisierbaren Maschine nicht der Fall sein, weil er sonst eine unendlich große Tabelle bräuchte, um die Zustandsübertragung auszuführen.
Ist die Vereinigung zweier linkslinearer Sprachen wieder linkslinear?
Ja. Seien dazu L1 und L2 linkslineare Sprachen. L1 und L2 sind damit zugleich reguläre Sprachen. Die Klasse der regulären Sprachen wiederum ist gegen Vereinigung abgeschlossen. Also ist L1L2 wieder eine reguläre Sprache, für die es eine linkslineare Grammatik geben muß.
Man kann die linkslineare Grammatik direkt aus den beiden linkslinearen Grammatiken für L1 bzw. L2 konstruieren. Seien L1=L(G1) mit G1=(N1,T1,P1,S1) und L2=L(G2) mit G2= (N2,T2,P2,S2), wobei G1 und G2 linkslinear sind. Durch Umbenennen kann man erreichen, daß N1 und N2 disjunkt sind. S sei ein Zeichen, das in Vereinigung von N1 und N2 nicht vorkommt. Dann erzeugt folgende Grammatik G=(N,T,P,S) die gesuchte Sprache L=L1L2 :


Wenn man aus dem Startsymbol S mit Hilfe der Regel S->S1 das Startsymbol S1 der Grammatik G1 erzeugt hat, so können alle Wörter aus L1 erzeugt werden.
Wenn man aus dem Startsymbol S mit Hilfe der Regel S->S2 das Startsymbol S2 der Grammatik G2 erzeugt hat, so können alle Wörter aus L2 erzeugt werden. Daraus folgt, daß L = L1L2 linkslinear ist.


Wie kann man aus einem nichtdeterministischen endlichen Automaten A einen äquivalenten deterministischen endlichen Automaten A' mit L(A)=L(A') konstruieren?
Dies kann man mit Hilfe einer Potenzmengenkonstruktion. Da es in A zu jedem Zustand s und einem gelesenen Zeichen mehrere mögliche Folgezustände geben kann, konstruiert man jeweils einen Zustand von A' als eine Menge von Zuständen von A. Zuerst fasst man alle Anfangszustände des nichtdeterm. endl. Automaten in einer Menge {s01,..,s0N} als neuen Anfangszustand des determ. endl. Automaten zusammen. Für jeden Buchstaben des Alphabets muß A' immer einen delta-Übergang haben, wobei von diesem neuen Anfangszustand aus man die Zustandsübergänge bei Einlesen des entsprechenden Zeichens des Alphabets für jeden einzelnen Zustand aus dieser Menge betrachtet. Erfolgt beispielsweise in A von zwei Anfangszuständen s01 und s02 der Übergang bei Einlesen eines Zeichens a in s01, s02, s2 und s5, so fasst man diese vier Zustände als Menge {s01, s02, s2, s5} des Folgezustands für A' zusammen, der durch Einlesen des Zeichens a vom Anfangszustand {s01, s02} des endl. determ. Automaten A erreicht wird. Vom neuen Folgezustand aus betrachtet man nun wieder die Zustandsübergänge für jeden einzelnen Zustand aus dieser neuen Menge, wobei man fertig ist, wenn man keine neuen Zustandmengen erhält. Terminale Zustände von A' sind dabei jene Zustandsmengen, die mindestens einen Endzustand von A enthalten.ÊÊ

Was ist ein Palindrom?
Eine Zeichenkette w, die vorwärts und rückwärts gelesen dasselbe ergibt. Man sagt auch w=wR, wobei wR die gespiegelte (engl. reflected image) Version von w bezeichnet.
Beispiel: Palindrome über dem Alphabet {0,1}: epsilon, 0, 1, 00, 11, ..., 011010110, ... Die Menge dieser Palindrome ist eine unendliche Sprache. Folgende kontextfreie (tatsächlich lineare) Grammatik G=(N,T,P,S) erzeugt alle Palindrome über {0,1}: N={S}, T={0,1}, P={S->0S0, S->1S1, S->eps, S->0, S->1}. Die Sprache der Palindrome über {0,1} ist nicht regulär (warum?).
Die Menge aller Palindrome stellt keine Sprache dar, da die Zeichenketten nicht aus einem endlichen Alphabet gebildet werden, wie es die Definition einer formalen Sprache festlegt.

Wie beschreibt man einen deterministischen endlichen Akzeptor?
Einen endlichen deterministischen Akzeptor A beschreibt man durch ein 5-Tupel A=(X,S,delta,s0,F) mit: Die Menge L(A)={w Element von X* | delta(s0,w) Element von F} heißt die akzeptierte (erkannte) Sprache. Eine Sprache heißt endlich akzeptiert, wenn es einen endlichen deterministischen Akzeptor A gibt mit L(A).

Was ist eine reguläre Sprache?
Eine Sprache L aus X* (X sei ein beliebiges Alphabet) heißt regulär, wenn es einen regulären Ausdruck R aus Reg(X) mit sigma(R)=L gibt. Die Menge aller regulären Sprachen über einem Alphabet X nennt man R(X). Die Klasse aller regulären Sprachen bezeichnet man mit R. (R ist lt. Skript ein deutsches R)

Was sind Epsilon-Übergänge?
Epsilon-Übergänge in nichtdeterministischen Automanten sind spontane Zustandswechsel, die ohne das Lesen eines Zeichens stattfinden. Epsilon-Übergänge können immer geschehen, wenn das leere Wort eingelesen wird, das beliebig zwischen zwei Zeichen eines Wortes enthalten sein kann.

Was bedeuten die Begriffe "Wort", "Alphabet", "Sprache"?
Ein Alphabet X ist eine endliche, nicht leere Menge von Buchstaben.
Ein Wort w über X ist eine endliche Folge von Buchstaben aus X. Ist diese leer, dann spricht man vom leeren Wort epsilon, welches aus null Buchstaben besteht.
Eine Sprache L ist jede Teilmenge von X*.
Ist die Definition der Syntax von L gegeben, so spricht man oft von einer formalen Sprache.

Was besagt die Churchsche These?
Jede im intuitiven Sinne berechenbare Funktion ist maschinell berechenbar und umgekehrt.

Wie bestimme ich zu einer rechtslinearen Grammatik in Normalform einen endlichen Akzeptor?
Die Zustandsmenge S des Automaten entspricht der Menge der Nonterminalsymbole N vereinigt mitÊeinem eventuellen zusätzlichen Zustand K, der zugleich terminal ist.ÊÊÊÊÊÊ
Die Grammatik muß in Normalform sein, d.h.: bei allen Regeln der Form A->wB oder A->w besteht w nur aus einem Zeichen, und Kettenregeln dürfen auch nicht vorhanden sein.

Was ist ein regulärer Ausdruck?
Reguläre Ausdrücke stellen eine Art dar, Sprachen zu spezifizieren. An sich sind reguläre Ausdrücke sinnleere Zeichenketten. Erst durch eine Interpretation erhalten sie eine Bedeutung.
Definition regulärer Ausdrücke:
Sei X ein Alphabet und V ={ (,),, *,., Ø} ein Zeichenvorrat. Die Menge Reg(X) der regulären Ausdrücke über X ist folgendermaßen definiert.
  1. Alle x aus X sind in Reg(X)
  2. Ø ist in Reg(X)
  3. Für alle R, Q aus Reg(X) gilt: (RQ) ist in Reg(X), und (R.Q) ist in Reg(X)
  4. Für alle R aus Reg(X) ist R* in Reg(X)
  5. Reg(X) ist die kleinste Teilmenge von (XV)*, die (1)-(5) erfüllt.
Wieviele Zustände hat ein minimaler deterministischer endlicher Automat (DFA)?
Es gilt: |S| = |KL|, wenn S die Menge der Zustände des minimalen deterministischen endlichen Automaten und KL die Menge der Äquivalenzklassen ist. Denn bei der Minimierung eines DFA werden äquivalente Zustände in Äquivalenzklassen zusammengefasst. Diese stellen dann die Zustände des minimalen DFA dar.

Ist entscheidbar ob zwei endliche Automaten äquivalent sind, d.h. die gleiche Sprache akzeptieren (sog. Äquivalenzproblem)?
Ja, das Äquivalenzproblem ist entscheidbar.
Gegeben seien zwei EA, die die Sprachen L1 bzw. L2 akzeptieren. Da die regulären Sprsachen gegen Komplement abgeschlossen sind, sind damit auch die Komlemente von L1 und L2 regulär. Der Ausdruck L3=(L1 geschnitten ¬L2) vereingt (¬L1 geschnitten L2) ist ebenfalls regulär. Daher können wir einen EA angeben, der L3 akzeptiert. L3 ist genau dann nicht leer, wenn L1 ungleich L2 ist. Es wurde aber bereits gezeigt, das L3=leer entscheidbar ist. D.h. das Äquivalenzproblem ist entscheidbar.

Wann heißen eine Grammatik G und eine Sprache L mehrdeutig?
Eine Grammatik G heißt mehrdeutig,
  1. g.d.w. es gibt für ein und dasselbe Wort w mindestens zwei verschiedene Syntaxbäume,
  2. g.d.w. es gibt zwei voneinader verschiedene Linksableitungen,
  3. g.d.w. es gibt für ein Wort w zwei voneinader verschiedene Rechtsableitungen.
Eine Sprache L heißt mehrdeutig, g.d.w. jede Grammatik G für L ist mehrdeutig. Man nennt die Sprache auch inhärent mehrdeutig.
Welche Beschreibungsmöglichkeiten gibt es, um eine reguläre Sprache zu definieren?
Man kann reguläre Sprachen u.a. definieren durch
Wie beschreibt man einen nicht-deterministischen endlichen Akzeptor?
Einen endlichen nichtdeterministischen Akzeptor A beschreibt man durch ein 5-Tupel A=(X,S,delta,S0,F) mit: Der Akzeptor heißt vollständig, wenn (genau wie beim endl. deterministischen Automat) von jedem Zustand s mit jeder Eingabe x ein Folgezustand erreicht wird.
Bei nicht-deterministischen endlichen Akzeptoren mit "Epsilon-Übergängen" muß man bei der Überführungsfunktion folgendes beachten:

Was ist die Chomsky-Hierarchie?
Im Jahre 1959 teilte Noam Chomsky die Grammatiken in eine Hierarchie ein, welche vierstufig ist, und den Grammatiken den Typ 0, 1, 2 oder 3 zuordnet. Diese Einteilung wird seitdem verwendet.
Das Kriterium für die Aufteilung ist dabei, wie die Regeln einer Grammatik der entsprechenden Chomsky-Stufe aussehen dürfen, was also links und rechts des Ableitungszeichens stehen darf. Es läßt sich aber auch zeigen, daß mit den verschiedenen Grammatiken tatsächlich verschiedene Sprachen beschrieben werden können.
Chomsky wies den Grammatiken folgendende Typen zu: Eine Grammatik G=(N,T,P,S) ist
Wann sind zwei Grammatiken äquivalent?
Zwei Gramatiken G1 und G2 sind äquivalent, wenn die von ihnen erzeugte Sprache gleich ist, also L(G1)=L(G2) gilt.
Oft kann man mit vollständiger Induktion über die Länge der Wörter oder auch über die Länge der Ableitungen zeigen, daß Wörter sowohl von G1 als auch von G2 erzeugt werden können.

Was ist eine kontextsensitive Grammatik?
Für eine kontextsensitive Grammatik (Chomsky-Typ-1-Grammatik) gilt die Einschränkung, daß auf der linken Seite der Produktionsregel ein nichtterminales Symbol existieren muß, welches nur unter Beibehaltung eines Kontextes, sofern ein solcher vorhanden ist, ersetzt werden darf.
Formal läßt sich die kontextsensitive Grammatik so beschreiben: G = (T,N,P,S) heißt kontextsensitiv, wenn gilt:
Für alle x->y aus P gibt es ein A aus N und w1,w2,v aus (TN)* mit v/=eps, (oder |v|>=1)
so daß aus x=w1Aw2 folgt y=w1vw2
Dies bedeutet, daß das Nichtterminalsymbol A nur im Kontext w1...w2 durch v ersetzt werden darf, wenn also w1 und w2 wieder im Wort vorhanden sind. Daher werden diese Grammatiken als kontextsensitiv bezeichnet

Wann akzeptiert ein endlicher, nichtdeterministischer, vollständiger Akzeptor A ein Wort w aus L(A)?
Der nichtdterministische, vollständige Akzeptor akzeptiert ein Wort w aus L(A), wenn es mindestens einen Weg zu w gibt, der von einem Anfangszustand in einen Endzustand führt. Beim Einlesen des letzten Buchstabens von w muß er sich im Endzustand befinden. Daneben darf es noch viele Sackgassen geben oder Wege, die nicht in einen Endzustand führen. Wichtig ist aber, das es zu einem Wort w', welches nicht aus L(A) ist, keinen Weg zu einem Endzustand gibt.
Können zwei verschiedene Grammatiken die gleiche Sprache erzeugen?
Ja.
Beispiel: Durch vollständige Fallunterscheidung kann man zeigen, dass diese beiden verschiedenen Grammatiken die gleiche Sprache erzeugen.

Wie geht man vor, wenn man einen nichtdeterministischen Akzeptor mit Hilfe einer imperativen Programmiersprache (z.B. C) implementieren möchte?
In der Praxis gibt es nur eine Möglichkeit, dies zu tun, und zwar indem man den nichtdeterministischen Akzeptor zunächst deterministisch macht. Dies kann man durch verschiedene relativ einfache Algorithmen erreichen. Ein deterministischer Akzeptor ist nun leicht zu implementieren, da es sich im wesentlichen nur um viele if-Abfragen handelt. Denkbar wäre, dass jeder Zustand eine eigene Funktion darstellen würde, die je nach Input eine andere aufruft, bis die Eingabe vollständig verarbeitet ist, dann würde lediglich eine Überprüfung, ob es sich um einen Endzustand ("Endfunktion") handelt, folgen. Oder man realisiert die Zustandsübergangsfunktion durch eine Tabelle.
Was ist die Chomsky-Normalform?
Eine kontextfreie Grammatik G=(N,T,P,) ,wobei  nicht in L(G) enthalten ist, heißt dann in Chomsky-Normalform, wenn für alle Regeln a->b aus P gilt, dass a ein Nonterminalsymbol, also aus N ist, und b entweder ein Terminalsymbol (aus T) oder aus NN ist (also zwei konkatenierte Nonterminals). Falls  in L(G) enthalten ist, so gibt es die Regel -> und  kommt in keiner Regel a->b auf der rechten Seite vor, also b darf nicht  enthalten. Es gibt zu jeder kontextfreien Grammatik G eine Grammatik G' in Chomsky -Normalform, so dass L(G)=L(G'). Für reguläre Grammatiken gibt es auch eine Chomsky-Normalform.

Was sind rekursive Grammatiken?
Um unendlich viele Sätze aus einer Grammatik bilden zu können, muss in den Regeln der Grammatik mindestens einmal ein Non-Terminal-Symbol auf der linken Seite (Prämisse) in irgendeiner Regel auf der rechten Seite (Konklusion) auftreten, wobei auch ein Weg von dem Non-Terminal-Symbol der Prämisse zum selben Non-Terminal-Symbol der Konklusion existieren muss. Beispiel: A=> wB, B => Cv, C => wA (indirekt) oder ganz einfach A => wA (direkt). In beiden Fällen kann eine Regel mehrfach (rekursiv) eingesetzt werden. Die in beiden Beispielen genannten Regel können also beliebig oft angewandt werden, wodurch ein Satz immer mehr Terminal-Symbole erhält und somit unendlich groß werden kann. Jede Grammatik, deren Regeln ein beliebig häufiges Wiederanwenden von einer oder mehrerer Regeln erlaubt, heißt rekursive Grammatik. Unterscheiden kann man zw. links- (A=>Aw), rechts- (A=>wA) oder zentralrekursiv (A=>vAw). Hinweis: Bei oben genannten Regeln sind nur Regeln gemeint, bei denen die Wiederanwendung Terminal-Symbole produziert, nicht z.B. A => B, B => A.
Was ist ein Automatenmorphismus?
Ein Automatenmorphismus ist eine Abbildung von der Menge der Zustände eines Automaten in die Menge der Zustände eines anderen Automaten, so dass beide dieselbe Sprache akzeptieren. Diese Abbildung bildet Startzustand auf Startzustand sowie Endzustände auf Endzustände ab und erfüllt für delta die Bedingung, dass es auf das gleiche herausläuft, ob man vor oder nach einem Übergang die Abbildung ausführt. Das heißt, ein Automatenmorphismus erhält die Struktur eines Automaten, die einzelnen Zustände können aber wohl unterschiedlich bezeichnet werden.

Welche Abschlusseigenschafen hat DA?
DA ist abgeschlossen gegen Vereinigung, Durchschnitt, Komplement, Differenz, dass heißt wenn R1, R2 in DA sind, so sind auch R1 vereinigt R2, R1 geschnitten R2, das Komplement von R1 und R1\R2 in DA.

Was ist das Selbstanwendungproblem?
Beim Selbstanwendungsproblem soll ein Algorithmus entscheiden, ob ein beliebiger Algorithmus a aus X* terminiert, wenn ihm sein eigener Text als Eingabe zugeführt wird. Solch ein Algorithmus existiert jedoch nicht. Somit ist das Selbstanwendungsproblem nicht entscheidbar.
Daher wird das Selbstanwendungproblem als sogenanntes Masterproblem der Berechenbarkeit bezeichnet. Es wird genutzt, um zu beweisen, das beliebige andere Probleme, bzw. Funktionen, nicht berechenbar sind, indem man diese, durch Reduktion, auf das Selbstanwendungsproblem zurückführt.
Welche Abschlußeigenschaften erfüllt die Klasse der kontextfreien Sprachen?
Kontextfreie Sprachen sind abgeschlossen unter Vereinigung, Produkt und Sternbildung. Sie sind nicht abgeschlossen unter Schnitt- und Komplementbildung.

Woran erkennt man eine kontextfreie Grammatik?
Kontextfreie Grammatiken sind so aufgebaut, daß auf der linken Seite der Ableitungsregeln immer ein Nonterminal steht und auf der rechten eine beliebige Folge aus Terminals und Nonterminals:
Also gilt: A -> w (w aus (NT)*).
So läßt sich auch beweisen, ob es sich bei einer beliebigen Sprache um eine kontextfreie handelt: Wenn man eine Grammatik der oben genannten Form findet, die die Sprache erzeugt, ist die Sprache kontextfrei.

Was ist das Halteproblem?
Die Frage ist, ob es einen Algorithmus geben kann, der für ein beliebiges Programm und gegebene Eingabewerte nach endlicher Zeit feststellt, ob das Programm für diese Werte terminiert oder nicht. Die Antwort darauf ist nein, es kann keinen solchen Algorithmus geben. Damit in Zusammenhang stehen auch das Selbstanwendungs- und das Äquivalenzproblem.

Wieso sind kontextfreie Sprachen nicht abgeschlossen gegen Durchschnittbildung?
Gegenbeispiel: L={anbncm | n,m>=0} und L'={ambncn | n,m>=0} sind kontextfrei.
Aber ihr Durchschnitt L"={anbncn | n>=0} ist nicht kontextfrei, was man mit dem Pumping Lemma gut zeigen kann.
Was sagt das "Wortproblem" aus?
Das Wortproblem ist die Frage, ob es einen Algorithmus gibt, der für ein beliebiges Wort w und eine beliebige Typ-i-Grammatik G entscheidet, ob w in L(G) ist oder nicht?

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